Encontre o volume do solido limitado pelo paraboloide x = y2 + z2 e pelo plano x = 16.

Para encontrar o volume do sólido limitado pelo paraboloide x = y² + z² e pelo plano x = 16, podemos utilizar o método de integração por coordenadas cilíndricas. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para as coordenadas r, θ e z. Como o paraboloide é simétrico em relação ao eixo x, podemos integrar apenas para metade do sólido e multiplicar o resultado por 2. Os limites de integração para r são de 0 a 4 (pois x = 16 quando y = 0 e z = 0). Para θ, podemos integrar de 0 a 2π, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo z. E para z, os limites de integração são de 0 a √(16 - r²). Assim, temos a integral tripla: V = 2 ∫ de 0 a 4 ∫ de 0 a 2π ∫ de 0 a √(16 - r²) r dz dθ dr Resolvendo as integrais, obtemos: V = 2 ∫ de 0 a 4 ∫ de 0 a 2π [zr] de 0 a √(16 - r²) dθ dr V = 2 ∫ de 0 a 4 ∫ de 0 a 2π √(16 - r²) r dθ dr V = 2π ∫ de 0 a 4 √(16 - r²) r dr Fazendo a substituição u = 16 - r², temos: V = 2π ∫ de 0 a 16 √u du/2 V = π ∫ de 0 a 16 u^(1/2) du V = (2/3)π [u^(3/2)] de 0 a 16 V = (2/3)π (16√16 - 0) V = (2/3)π (16 x 4) V = 128π unidades de volume Portanto, o volume do sólido é de 128π unidades de volume.