Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) to show that the equation 2 cos(x) = 4x− 1 has a solution in the interval (0, π/4). Encontrar uma solu...
Encontrar uma solução da equação 2 cos(x) = 4x− 1 no intervalo (0, π/4) é equivalente a encontrar um ponto x0 ∈ (0, π/4) tal que f(x0) = 0, onde f(x) = 2 cos(x) + 1− 4x.
Para usarmos o Teorema do Valor Intermediário como o enunciado indica, devemos verificar se a função é cont́ınua no intervalo fechado [0, π/4]: isso de fato acontece, pois a função é soma da função trigonométrica cos(x) com um polinômio.
Resta-nos agora encontrar valores a, b ∈ [0, π/4] tais que f(a) e f(b) tenham sinais contrários. Assim, o TVI garantirá que existe x0 ∈ (0, π/4) tal que f(x0) = 0, como queremos.
Segue então, do TVI, que existe solução para f(x) = 0 no intervalo [0, π/4], como queŕıamos demonstrar.
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Ed 
Para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), precisamos verificar se a função f(x) = 2cos(x) + 1 - 4x é contínua no intervalo fechado [0, π/4]. Como a função é a soma de uma função trigonométrica e um polinômio, ela é contínua em todo o seu domínio, incluindo o intervalo [0, π/4]. Agora, precisamos encontrar valores a, b ∈ [0, π/4] tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Podemos escolher a = 0 e b = π/4. Então, temos: f(a) = 2cos(0) + 1 - 4(0) = 3 > 0 f(b) = 2cos(π/4) + 1 - 4(π/4) = -1/2 < 0 Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, o TVI garante que existe pelo menos um ponto x0 ∈ (0, π/4) tal que f(x0) = 0. Portanto, a equação 2cos(x) = 4x - 1 tem pelo menos uma solução no intervalo (0, π/4).
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