PC_2018-1_AD1-Q1_ENUNCIADO

Prévia do material em texto

AD1-Q1 – 2018-1 Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Questão 1 da Avaliação a Distância 1 (AD1-Q1) 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [5,0 pontos] 
(a) [valor: 1,5] Considere os polinômios 
𝐷(𝑥) = 3𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 1, 𝑑(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ 
(a.1) Sabendo-se que, pelo Algoritmo de Euclides, 𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥), determine o 
quociente 𝑞(𝑥) e o resto 𝑟(𝑥) da divisão de 𝐷(𝑥) por 𝑑(𝑥). 
(a.2) Sabendo-se que 𝑥 = −1 é uma raiz dupla de 𝐷(𝑥), encontre as outras raízes reais de 𝐷(𝑥) 
e fatore esse polinômio em ℝ como produto de fatores lineares (ou seja, tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores 
quadráticos irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique a sua 
fatoração, deixando claro como encontrou todas as raízes. 
 
(b) [valor: 2,3] Considere os polinômios 
𝑝(𝑥) = 4 − 3𝑥 e 𝑞(𝑥) = (3𝑥 − 1)2(𝑥 + 2)3 , 𝑥 ∈ ℝ 
(b.1) Analise o sinal de 𝑝(𝑥). Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.2) Analise o sinal de 𝑞(𝑥). Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.3) Analise o sinal da função 𝑓(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
. Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.4) Determine o domínio da função 𝑔(𝑥) = √
𝑞(𝑥)
𝑝(𝑥)
. Justifique! 
(b.5) Determine o domínio da função ℎ(𝑥) = √
|𝑞(𝑥)|
𝑝(𝑥)
. Justifique! 
 
(c) [valor: 1,2] Considere a função 𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1. 
(c.1) Aplicando a definição de módulo em |𝑥 − 2|, escreva a função 𝑚(𝑥) como função partida em dois 
intervalos disjuntos (lembre que intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
(c.2) Encontre a abscissa de cada um dos pontos de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑚(𝑥) com o eixo 
𝑥 e a ordenada do ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑚(𝑥) com o eixo 𝑦. 
(c.3) Esboce o gráfico da função 𝑚(𝑥) = |𝑥 − 2| − 1. Sugestão: use os itens anteriores para construir o 
gráfico. 
 OBSERVAÇÃO: o gráfico desse item deve ser feito à mão, não será aceito gráfico feito 
com aplicativo ou com programa computacional. 
ATENÇÃO: O arquivo a ser enviado deve ser em PDF, a questão não será corrigida em outro formato de arquivo.