PC_2017-2_AD1-Q1_GABARITO

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AD1 – Q1 – 2017-2 GABARITO Pré-Cálculo 
CEDERJ 
GABARITO da Questão 1 da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [5,0 pontos] 
(a) [valor: 2,0] Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1, 𝑥 ∈ ℝ e a constante 𝑎 ∈ ℝ. 
(a.1) Determine o valor da constante 𝑎 se sabemos que 𝑥 = −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥). 
(a.2) Com o valor da constante 𝑎 determinado no item anterior, fatore 𝑝(𝑥) como produto de fatores 
lineares (ou seja, tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que 
não possui raízes reais). Justifique a sua fatoração, deixando claro como encontrou todas as raízes. 
RESOLUÇÃO de (a): 
(a.1) Se 𝑥 = −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥) então sabemos que 𝑝(−1) = 0, calculando 𝑝(−1): 
𝑝(−1) = 𝑎(−1)4 + 4(−1)3 − 6(−1)2 − (−1) + 1 = 𝑎 − 4 − 6 + 1 + 1 = 0 ⟹ 𝑎 = 8. 
 
(a.2) Para fatorar 𝑝(𝑥) = 8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1, precisamos encontrar as raízes de 𝑝(𝑥). 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são ±1, pois são os divisores do termo independente que é igual a 1. 
Já sabemos que −1 é uma raiz de 𝑝(𝑥), vamos testar se 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = 8(1)4 + 4(1)3 − 6(1)2 − (1) + 1 = 8 + 4 − 6 − 1 + 1 = 6 ⟹ 𝑥 = 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
As possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑝(𝑥) são ±
1
2
, ±
1
4
, ±
1
8
, pois são os divisores do termo 
independente que é igual a 1 divididos pelos divisores (diferentes de ±1) do coeficiente do termo de maior 
grau, que é igual a 8. 
𝑝 (
1
2
) = 8 (
1
2
)
4
+ 4 (
1
2
)
3
− 6 (
1
2
)
2
− (
1
2
) + 1 =
8
16
+
4
8
−
6
4
−
1
2
+ 1 =
1
2
+
1
2
−
3
2
−
1
2
+ 1 = 1 − 2 + 1 = 0 ⟹ 
⟹ 𝑥 =
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Como já temos duas raízes de 𝑝(𝑥) e são muitas as possíveis raízes de 𝑝(𝑥), para determinar as outras raízes 
fica mais simples dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 + 1) e por (𝑥 −
1
2
), pois 
𝑝(𝑥) = 8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) ∙ 𝑞(𝑥), onde 𝑞(𝑥) é um polinômio de segundo grau. 
Para dividir, podemos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas. 
 8 4 −6 −1 1 
−1 8 8(−1) + 4 = −4 (−4)(−1) − 6 = −2 (−2)(−1) − 1 = 1 1(−1) + 1 = 0 
1
2
 8 8 (
1
2
) − 4 = 0 (0) (
1
2
) − 2 = −2 (−2) (
1
2
) + 1 = 0 
Logo, 
𝑝(𝑥) = 8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(8𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 1) = (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) ∙ (8𝑥2 − 2). 
AD1 – Q1 – 2017-2 GABARITO Pré-Cálculo 
Determinando as raízes de 𝑞(𝑥) = 8𝑥2 − 2: 
8𝑥2 − 2 = 0 ⟺ 8𝑥2 = 2 ⟺ 𝑥2 =
1
4
 ⟺ 𝑥 =
1
2
 ou 𝑥 = −
1
2
. 
Portanto a fatoração de 𝑝(𝑥) é: 
𝑝(𝑥) = 8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) ∙ 8 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 +
1
2
) ou 
𝑝(𝑥) = 8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) ou 
𝑝(𝑥) = 8𝑥4 + 4𝑥3 − 6𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)2(2𝑥 + 1) 
 
(b) [valor: 3,0] Considere o polinômio 𝑞(𝑥) e a função 𝑓(𝑥) = 
 4𝑥+5√𝑥2−9 
√𝑞(𝑥)
 , 𝑥 ∈ ℝ 
(b.1) Se sabemos que 𝑞(𝑥) = 𝑎6𝑥
6 + 𝑎5𝑥
5 + 𝑎4𝑥
4 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 e suas raízes são: 𝑥1 =
𝑥2 = 𝑥3 = 0, 𝑥4 = 𝑥5 = −4, 𝑥6 = 4 e que o coeficiente do termo de maior grau é igual a 2, determine os 
outros coeficientes de 𝑞(𝑥) e analise o sinal de 𝑞(𝑥). Essa análise de sinal deve ser justificada! 
(b.2) Descreva por inequações as restrições do domínio da função 𝑓(𝑥) e determine o domínio de 𝑓(𝑥). 
(b.3) Determine o(s) ponto(s) em que o gráfico da função 𝑓(𝑥) corta ou toca o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. Lembre que a 
abscissa desse ponto deve pertencer ao domínio da função. 
RESOLUÇÃO de (b): 
(b.1) 𝑞(𝑥) = 𝑎6(𝑥 − 0)
3(𝑥 + 4)2(𝑥 − 4) = 𝑎6𝑥
3(𝑥2 + 8𝑥 + 16)(𝑥 − 4) e dado que 𝑎6 = 2 
𝑞(𝑥) = 2𝑥3(𝑥 + 4)2(𝑥 − 4) = 2𝑥3(𝑥2 + 8𝑥 + 16)(𝑥 − 4) = 2𝑥6 + 8𝑥5 − 32𝑥4 − 128𝑥3. 
Portanto os coeficientes de 𝑞(𝑥) são: 𝑎6 = 2, 𝑎5 = 8, 𝑎4 = −32, 𝑎3 = −128, 𝑎2 = 𝑎1 = 𝑎0 = 0. 
Análise de sinal de 𝑞(𝑥): vamos usar a forma fatorada 𝑞(𝑥) = 2𝑥3(𝑥 + 4)2(𝑥 − 4) e tabela de sinais. 
• Sinal de 2𝑥3: 
2𝑥3 = 0 ⟺ 𝑥3 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 
2𝑥3 > 0 ⟺ 𝑥3 > 0 ⟺ 𝑥 > 0, pois o expoente de 𝑥 é ímpar. 
• Sinal de (𝑥 + 4)2: 
(𝑥 + 4)2 = 0 ⟺ 𝑥 + 4 = 0 ⟺ 𝑥 = −4 
(𝑥 + 4)2 > 0 ⟺ 𝑥 + 4 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −4, pois qualquer número real não nulo 
elevado a expoente par é um número positivo. 
• Sinal de 𝑥 − 4: 
𝑥 − 4 = 0 ⟺ 𝑥 = 4 
𝑥 − 4 > 0 ⟺ 𝑥 > 4 
 (−∞, −4) −4 (−4, 0) 0 (0, 4) 4 (4, ∞) 
2𝑥3 − − − 0 + + + 
(𝑥 + 4)2 + 0 + + + + + 
(𝑥 − 4) − − − − − 0 + 
𝑞(𝑥) = 2𝑥3(𝑥 + 4)2(𝑥 − 4) + 0 + 0 − 0 + 
 
AD1 – Q1 – 2017-2 GABARITO Pré-Cálculo 
Portanto, 
𝑞(𝑥) = 0 : 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 4 
𝑞(𝑥) > 0 : 𝑥 ∈ (−∞, −4) ∪ (−4, 0) ∪ (4, ∞) 
𝑞(𝑥) < 0 : 𝑥 ∈ (0, 4) 
 
(b.2) As restrições são: 𝑥2 − 9 ≥ 0, 𝑞(𝑥) ≥ 0 e 𝑞(𝑥) ≠ 0 
Pois cada radicando deve ser positivo ou nulo e o denominador deve ser não nulo. 
As restrições podem ser simplificadas: 𝑥2 − 9 ≥ 0 e 𝑞(𝑥) > 0. 
Temos que encontrar a solução de cada inequação e o domínio será a interseção das soluções. 
Sinal de 𝑥2 − 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) : 
Logo, 𝑥2 − 9 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −3 ou 𝑥 ≥ 3 
Do item (b.1), 
𝑞(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −4) ∪ (−4, 0) ∪ (4, ∞): 
Portanto, 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = (−∞, −4) ∪ (−4, −3] ∪ (4, ∞) 
 
(b.3) Interseção do gráfico com eixo x: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 4𝑥 + 5√𝑥2 − 9 = 0. Resolvendo, 
4𝑥 + 5√𝑥2 − 9 = 0 ⟺ 5√𝑥2 − 9 = −4𝑥 ⟹ (5√𝑥2 − 9)
2
 = (−4𝑥)2 ⟺ 
25(𝑥2 − 9) = 16𝑥2 ⟺ 25𝑥2 − 25×9 = 16𝑥2 ⟺ 9𝑥2 = 25×9 ⟺ 𝑥2 = 25 ⟺ 
 𝑥 = −5 ou 𝑥 = 5. 
Como elevamos a igualdade 5√𝑥2 − 9 = −4𝑥 ao quadrado, obtendo (5√𝑥2 − 9)
2
= (−4𝑥)2 é preciso 
testar se de fato as soluções de (5√𝑥2 − 9)
2
= (−4𝑥)2 são também soluções de 5√𝑥2 − 9 = −4𝑥 . 
Substituindo 𝑥 = 5 na equação 5√𝑥2 − 9 = −4𝑥 , obtemos 5√52 − 9 = −4×5 , fazendo as 
contas, 5×4 = −20 é falso, logo 𝑥 = 5 não é solução. 
Substituindo 𝑥 = −5 na equação 5√𝑥2 − 9 = −4𝑥 , obtemos 5√(−5)2 − 9 = −4×(−5), 
 fazendo as contas 5×4 = 20 é verdadeiro, logo 𝑥 = −5 é solução. 
Como −5 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓), o gráfico de 𝑓(𝑥) corta o eixo 𝑥 no ponto (−5, 0). 
_____________________________________________________________________________________ 
−3 3 
3 
0 0 
−3 
 
+ + 
 
− − 
 
+ + 
4 −4 0