Resumo - Séries de Potências - Monitoria MAT147

Prévia do material em texto

Séries de Potências –Resumo - Guilherme Palla Teixeira
1. Centro e Raio de Convergência
	Seja a série
uma série de potências em . Pelo Teste da Raiz:
	Se e para a série de potências convergir absolutamente, teremos:
	Logo:
	Assim, podemos definir:
Raio de Convergência: Distância do centro do intervalo de convergência até um dos extremos. 
Centro de Convergência: Ponto médio do intervalo de convergência.
	Finalmente, podemos concluir que a série de potências acima está centrada em .
	Um caso particular seria se A série estará centrada em e será igual a:
2. Série Geométrica
	Seja a série de potências em :
	Perceba que é uma série geométrica onde . Se , teremos:
	Logo, obtemos uma função que representa a soma de uma série de potências, que é a série geométrica:
	Vamos determinar o domínio (Intervalo de Convergência) desta função. Aplicando o teste da raiz:
	Se , teremos uma série absolutamente convergente. Assim:
	Quando o limite é igual a , o teste da raiz não afirma nada sobre a série. Para . Testaremos os extremos do intervalo:
Para 
Para 
	Finalmente, podemos concluir que o domínio da função que representa a série geométrica é dada por:
3. Derivação e Integração de Séries de Potências
	Seja uma função que representa uma série de potências centrada em , ou seja:
	Assim, podemos ter:
	A série acima é a integração da série de potências centrada em zero, que é o mais comum de cair em prova!
	A derivação e a integração de série de potências são termo a termo. Perceba que, após a derivação e a integração, o centro de convergência permanece o mesmo. Temos o teorema:
Teorema: Se é o raio de convergência da série de potências que representa a função , então:
	De maneira análoga, se , ..., teremos:
 
4. Série de Taylor
	Considere uma função infinitamente derivável tal que:
ou seja, centrada em e raio de convergência igual a . Assim:
	Logo:
	Para , temos:
5. Séries Notáveis
	Vamos apresentar a demonstração de algumas séries importantes para a disciplina.
5.1. Série Exponencial
	Vamos determinar a série que representa a função . 
	Aplicando o teorema de série de Maclaurin:
	Como , teremos uma série centrada em :
	Pelo Teste da Razão:
	Logo:
5.2. Série e 
	Seja . Vamos determinar uma série centrada em .
	Continuando a derivação, percebe-se que as derivadas oscilam de 4 em 4. As derivadas ímpares oscilam com relação ao sinal. Assim:
	Logo, o termo geral será:
	A série será:
	Para encontrar a série da função , vamos derivar a função :
5.3. Série e 
	Uma vez que , vamos usar a série de para determinar a série que representa .
	Logo:
	Uma vez que , teremos: