Calcule a integral ∫0 a Pi ∫ 0 a x xcos(y)dydx

Para calcular a integral dupla \(\int_0^{\pi} \int_0^{x} x \cos(y) \, dy \, dx\), vamos resolver passo a passo. 1. **Calcule a integral interna**: \[ \int_0^{x} x \cos(y) \, dy \] Como \(x\) é uma constante em relação a \(y\), podemos fatorá-lo para fora da integral: \[ = x \int_0^{x} \cos(y) \, dy \] A integral de \(\cos(y)\) é \(\sin(y)\), então: \[ = x [\sin(y)]_0^{x} = x (\sin(x) - \sin(0)) = x \sin(x) \] 2. **Agora, calcule a integral externa**: \[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx \] Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes. Seja: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = \sin(x) \, dx\) \(\Rightarrow v = -\cos(x)\) Aplicando a fórmula de integração por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Temos: \[ = -x \cos(x) \bigg|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx \] Calculando \( -x \cos(x) \bigg|_0^{\pi} \): \[ = -\pi \cos(\pi) - (0 \cdot \cos(0)) = -\pi (-1) - 0 = \pi \] Agora, calcule a integral \(\int_0^{\pi} \cos(x) \, dx\): \[ = [\sin(x)]_0^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0 \] 3. **Juntando tudo**: \[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \pi + 0 = \pi \] Portanto, o resultado da integral é: \[ \int_0^{\pi} \int_0^{x} x \cos(y) \, dy \, dx = \pi \]