Uma transformação linear T : R2 R2 é tal que T(1,-1) = e (1,-1,3). Determine a transformação linear T(x,y).

Podemos utilizar a base canônica de R2, {e1, e2}, para determinar a transformação linear T(x,y). Sabemos que T(1,-1) = e1 - e2 + 3e3, onde e1, e2 e e3 são os vetores da base canônica de R3. Assim, podemos escrever: T(1, -1) = e1 - e2 + 3e3 T(x, y) = T(xe1 + ye2) = xT(e1) + yT(e2) Como T é uma transformação linear, podemos escrever T(e1) e T(e2) como combinações lineares de e1, e2 e e3: T(e1) = a1e1 + b1e2 + c1e3 T(e2) = a2e1 + b2e2 + c2e3 Substituindo T(1,-1) em T(e1) e T(e2), temos: T(1,-1) = a1e1 + b1e2 + c1e3 T(1,-1) = a2e1 + b2e2 + c2e3 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: a1 = 1, b1 = -1, c1 = 3 a2 = 1, b2 = 0, c2 = 0 Portanto, a transformação linear T(x,y) é dada por: T(x,y) = (x-y)e1 + 3xe3