Em um triângulo ABC, BC=12 cm e a mediana relativa a esse lado mede 6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo em função das medianas, que é dada por: Area = (4/3) * √[p(p - m1)(p - m2)(p - m3)] Onde p é o semiperímetro do triângulo e m1, m2 e m3 são as medianas relativas aos lados BC, AC e AB, respectivamente. Primeiro, vamos encontrar o valor do semiperímetro p. Sabemos que BC = 12 cm, então o comprimento do lado oposto ao lado AB é AC = 2 * m1 = 2 * 6 = 12 cm. Portanto, o perímetro do triângulo é: P = AB + AC + BC = 9 + 12 + 12 = 33 cm E o semiperímetro é: p = P/2 = 33/2 = 16,5 cm Agora, podemos encontrar o comprimento do lado AB. Sabemos que a mediana relativa a esse lado mede 9 cm, então temos: 2 * AB = (4/3) * √[p(p - m1)(p - m2)(p - m3)] 2 * AB = (4/3) * √[16,5(16,5 - 6)(16,5 - 6)(16,5 - 12)] 2 * AB = (4/3) * √[16,5 * 10,5 * 10,5 * 4,5] 2 * AB = (4/3) * 99 AB = 33 cm Agora que conhecemos os comprimentos dos lados AB e BC, podemos encontrar o comprimento do lado AC utilizando o teorema de Pitágoras: AC² = AB² + BC²/4 AC² = 33² + 12²/4 AC² = 1089 + 144/4 AC² = 1089 + 36 AC² = 1125 AC = √1125 AC = 15√5 cm Finalmente, podemos calcular a área do triângulo utilizando a fórmula da área: Area = (4/3) * √[p(p - m1)(p - m2)(p - m3)] Area = (4/3) * √[16,5(16,5 - 6)(16,5 - 9)(16,5 - 15√5)] Area = (4/3) * √[16,5 * 10,5 * 7,5 * (16,5 - 15√5)] Area = (4/3) * √[16,5 * 10,5 * 7,5 * (16,5 - 15√5)] Area = (4/3) * √[17325 - 15750√5] Area = (4/3) * √[225 * (77 - 70√5)] Area = (4/3) * 15 * √(77 - 70√5) Area ≈ 32,1 cm² Portanto, a alternativa correta é a letra B) 32 cm².