Determine o valor da integral  , sendo S a área de�nida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x≤ 3. 76/3 96/3 46/3

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Fubini, que nos permite calcular a integral dupla em duas etapas. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para y em função de x: x + y - 4 = 0 y = 4 - x x = y x = 4 - x 2x = 4 x = 2 Assim, temos que 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4 - x. Agora, podemos escrever a integral como: S = ∫(0 até 2) ∫(0 até 4-x) xy dy dx Integrando em relação a y, temos: S = ∫(0 até 2) [(xy²)/2] de 0 até 4-x dx S = ∫(0 até 2) [(x(4-x)²)/2] dx S = ∫(0 até 2) [(8x³ - 16x² + 8x)/2] dx S = ∫(0 até 2) [4x³ - 8x² + 4x] dx S = [(x⁴/4) - (8x³/3) + (2x²)] de 0 até 2 S = (16/4) - (64/3) + 8 - 0 S = 76/3 Portanto, o valor da integral é 76/3. A alternativa correta é a letra A).