Determine a integral de linha  sendo o campo vetorial   e a curva C de�nida pela equação  , para 0≤t≤1.

Para determinar a integral de linha ∫C F · dr, onde F = (x^2 + y^2) i + (x^2 - y^2) j e C é a curva definida por x = t^2 e y = t - t^3, 0 ≤ t ≤ 1, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada de x e y em relação a t: dx/dt = 2t dy/dt = 1 - 3t^2 2. Substituir x e y em termos de t na expressão de F: F = (t^4 + (t - t^3)^2) i + (t^4 - (t - t^3)^2) j 3. Calcular a integral de linha: ∫C F · dr = ∫[0,1] (t^4 + (t - t^3)^2) dt + ∫[0,1] (t^4 - (t - t^3)^2) dt 4. Integrar cada termo separadamente: ∫[0,1] (t^4 + (t - t^3)^2) dt = 1/5 + 1/7 - 2/9 + 2/11 - 1/13 + 1/15 ∫[0,1] (t^4 - (t - t^3)^2) dt = 1/5 - 1/7 - 2/9 + 2/11 + 1/13 - 1/15 5. Somar os resultados: ∫C F · dr = 2/5 - 4/7 - 4/9 + 4/11 + 2/13 - 2/15 Portanto, a integral de linha é igual a 2/5 - 4/7 - 4/9 + 4/11 + 2/13 - 2/15.