(a) Mostre que d dx [√ 1 + senx 1− senx ] = 1 1− senx , sendo que x ∈ (0, π/2). (b) Se f(x) = etg √ senx, determine f ′(x).

(a) Para resolver essa questão, vamos utilizar a regra da cadeia. Primeiro, vamos calcular a derivada do denominador: d dx [1 - sen(x)] = -cos(x) Agora, vamos calcular a derivada do numerador: d dx [√(1 + sen(x))] = (1/2)(1 + sen(x))^(-1/2) * cos(x) Aplicando a regra da cadeia, temos: d dx [√(1 + sen(x))/(1 - sen(x))] = [(1 - sen(x))(1/2)(1 + sen(x))^(-1/2) * cos(x) - √(1 + sen(x))(-cos(x))] / (1 - sen(x))^2 Simplificando a expressão, temos: d dx [√(1 + sen(x))/(1 - sen(x))] = cos(x) / (1 - sen(x)) (b) Para calcular a derivada de f(x) = etg(√sen(x)), vamos utilizar a regra da cadeia e a derivada da tangente: f'(x) = e^(tg(√sen(x))) * sec^2(√sen(x)) * (1/2)(sen(x))^(-1/2) * cos(x) Simplificando a expressão, temos: f'(x) = (1/2) * e^(tg(√sen(x))) * cos(x) / √sen(x)