3. Considere a função diferenciável f(x, y), onde x = g(u, v) = v cos(π + u) + euv e y = h(u, v) = u2 − v2. Sabendo que ∂f/∂x(−1,−4) = 3 e ∂f/∂y...

A partir das informações fornecidas, podemos utilizar a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais de F em relação a u e v. Para ∂F/∂u, temos: ∂F/∂u = (∂f/∂x * ∂x/∂u) + (∂f/∂y * ∂y/∂u) Substituindo as expressões de x e y em termos de u e v, temos: x = v cos(π + u) + euv y = u^2 - v^2 Calculando as derivadas parciais de x e y em relação a u, temos: ∂x/∂u = -v sen(π + u) + ev ∂y/∂u = 2u Substituindo na fórmula da Regra da Cadeia, temos: ∂F/∂u = (3 * (-4) sen(π - 1) + 3e(-4)) * (-1) + (2 * (-4)) Simplificando, temos: ∂F/∂u = 6 Para ∂F/∂v, temos: ∂F/∂v = (∂f/∂x * ∂x/∂v) + (∂f/∂y * ∂y/∂v) Calculando as derivadas parciais de x e y em relação a v, temos: ∂x/∂v = cos(π + u) + eu ∂y/∂v = -2v Substituindo na fórmula da Regra da Cadeia, temos: ∂F/∂v = (3 * (cos(π - 1) - 4e)) * (-1) + (2 * (-4) * (-2)) Simplificando, temos: ∂F/∂v = -11 Portanto, as derivadas parciais de F em relação a u e v são, respectivamente, 6 e -11.