(12) Um cubo tem quatro diagonais. Mostre que qualquer duas diagonais não são perpendiculares. Mostre que qualquer duas diagonais não são perp...

Um cubo tem 12 arestas e 8 vértices. Cada diagonal do cubo liga dois vértices não adjacentes. Portanto, existem 12 diagonais no cubo. Para mostrar que qualquer duas diagonais não são perpendiculares, podemos considerar que existem apenas duas possibilidades de diagonais perpendiculares em um cubo: as diagonais que passam pelo centro do cubo e as diagonais que ligam vértices opostos. No entanto, se duas diagonais passam pelo centro do cubo, elas se cruzam em um ângulo de 90 graus, o que significa que elas não são diagonais distintas. Portanto, não existem duas diagonais perpendiculares que passem pelo centro do cubo. Por outro lado, se duas diagonais ligam vértices opostos, elas estão em planos opostos do cubo e não podem ser perpendiculares. Portanto, não existem duas diagonais perpendiculares que ligam vértices opostos do cubo. Assim, concluímos que qualquer duas diagonais do cubo não são perpendiculares.