(12) Um cubo tem quatro diagonais. Mostre que qualquer duas diagonais não são perpendiculares. Mostre que qualquer duas diagonais não são perp...

Um cubo tem 12 arestas e 8 vértices. Cada diagonal do cubo liga dois vértices não adjacentes. Portanto, existem 12 diagonais no cubo. Para mostrar que qualquer duas diagonais não são perpendiculares, podemos escolher duas diagonais que não compartilham um vértice em comum. Por exemplo, escolhemos a diagonal que liga dois vértices opostos da face superior do cubo e a diagonal que liga dois vértices opostos da face frontal do cubo. Essas duas diagonais não são perpendiculares, pois se fossem, teríamos um triângulo retângulo com a hipotenusa formada por uma das diagonais do cubo e os catetos formados pelas arestas que contêm os vértices opostos a essa diagonal. No entanto, esses catetos teriam comprimentos iguais (pois são arestas do cubo) e a hipotenusa teria comprimento diferente (pois é uma diagonal do cubo), o que é uma contradição. Portanto, concluímos que qualquer duas diagonais do cubo não são perpendiculares.