Escreva as equações paramétricas associadas ao plano α que contém o ponto A(1, 7, 7) e é paralelo aos vetores ⃗ u = ( 32 , − 19 , 21 ) e ⃗ v = ( 17 , 91 , 1 ) . A B C D

Question

Escreva as equações paramétricas associadas ao plano  α  que contém o ponto A(1, 7, 7) e é paralelo aos vetores  ⃗ u = ( 32 , − 19 , 21 )  e  ⃗ v =...

Ed · Answer

Para escrever as equações paramétricas de um plano que contém um ponto e é paralelo a dois vetores, você pode usar a seguinte fórmula:

Seja $ A(x_0, y_0, z_0) $ um ponto no plano e $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $ os vetores que são paralelos ao plano, as equações paramétricas do plano podem ser escritas como:

$$
\begin{cases}
x = x_0 + s \cdot u_1 + t \cdot v_1 \
y = y_0 + s \cdot u_2 + t \cdot v_2 \
z = z_0 + s \cdot u_3 + t \cdot v_3
\end{cases}
$$

onde $ s $ e $ t $ são parâmetros, e $ (u_1, u_2, u_3) $ e $ (v_1, v_2, v_3) $ são as componentes dos vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.

Dado o ponto $ A(1, 7, 7) $ e os vetores $ \vec{u} = (32, -19, 21) $ e $ \vec{v} = (17, 91, 1) $, as equações paramétricas do plano $ \alpha $ ficam:

$$
\begin{cases}
x = 1 + 32s + 17t \
y = 7 - 19s + 91t \
z = 7 + 21s + 1t
\end{cases}
$$

Portanto, as equações paramétricas associadas ao plano $ \alpha $ são essas. Se precisar de mais alguma coisa, é só avisar!

Ed · Answer

Para encontrar as equações paramétricas do plano α, precisamos primeiro encontrar um vetor normal ao plano. Como o plano é paralelo aos vetores ⃗u e ⃗v, o vetor normal será perpendicular a ambos. Podemos encontrar o vetor normal usando o produto vetorial:

⃗n = ⃗u x ⃗v = (32, -19, 21) x (17, 91, 1) = (-1900, -665, 1745)

Agora que temos um vetor normal ao plano, podemos escrever as equações paramétricas do plano α na forma geral:

-1900(x - 1) - 665(y - 7) + 1745(z - 7) = 0

Simplificando, temos:

-1900x + 665y - 1745z + 4825 = 0

Portanto, as equações paramétricas do plano α são:

x = t
y = (1900/665)t + 7
z = (1745/665)t + 7

Onde t é um parâmetro.

Geometria Analítica

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