A temperatura em um ponto (x,y) de uma placa plana é dada por z = f(x,y) = x2y - x. Uma partícula se desloca nesta placa pelo traço da curva y(t) =...

Para encontrar a taxa de variação de temperatura sofrida pela partícula no instante t = 1, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor gradiente de f no ponto (x,y) da curva: O vetor gradiente de f é dado por: ∇f = (df/dx, df/dy). Assim, temos: df/dx = 2xy - 1 df/dy = x^2 Portanto, o vetor gradiente de f no ponto (x,y) é: ∇f = (2xy - 1, x^2). 2. Encontrar a derivada da curva y(t) em relação a t: y(t) = (t^2 - 3t, 2t). Derivando em relação a t, temos: dy/dt = (2t - 3, 2). 3. Substituir os valores encontrados na expressão da taxa de variação de temperatura: A taxa de variação de temperatura é dada por: ∇f . (dy/dt). Assim, temos: ∇f . (dy/dt) = (2xy - 1, x^2) . (2t - 3, 2) = (4xyt - 6y + 2xt - 3x^2, 2x^2t - 2x) Substituindo x = t^2 - 3t e y = 2t, temos: ∇f . (dy/dt) = (8t^5 - 48t^4 + 68t^3 - 30t^2, 4t^3 - 8t) 4. Calcular a taxa de variação de temperatura no instante t = 1: Substituindo t = 1 na expressão encontrada, temos: ∇f . (dy/dt) = (-2, -4) Portanto, a taxa de variação de temperatura sofrida pela partícula no instante t = 1 é de -2 na direção x e -4 na direção y.