Para calcular as derivadas parciais da função \( f(x,y) = 2e^{2x} - \sen(2y) + 24 \), vamos aplicar a regra da cadeia. 1. Derivada parcial em relação a \( x \): - A derivada de \( 2e^{2x} \) em relação a \( x \) é \( 4e^{2x} \). - A derivada de \( -\sen(2y) \) em relação a \( x \) é 0, pois não depende de \( x \). - A derivada de \( 24 \) em relação a \( x \) também é 0. Portanto, a derivada parcial em relação a \( x \) é: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4e^{2x} \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): - A derivada de \( 2e^{2x} \) em relação a \( y \) é 0, pois não depende de \( y \). - A derivada de \( -\sen(2y) \) em relação a \( y \) é \( -2\cos(2y) \). - A derivada de \( 24 \) em relação a \( y \) é 0. Portanto, a derivada parcial em relação a \( y \) é: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -2\cos(2y) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{\partial f}{\partial x} = e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = \cos(2y) \) - Incorreto. b) \( \frac{\partial f}{\partial x} = -4e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cos(y) \) - Incorreto. c) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4e^{x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = \sen(2y) \) - Incorreto. d) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = -2\cos(2y) \) - Correto. Portanto, a alternativa correta é a d.