Seja β = {(1, 1,1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)} Mostre que: a)  β é uma base do R3: b) Determine as coordenadas do vetor u = (4, -5, 3) na base β.

a) Para mostrar que β é uma base do R3, precisamos verificar se os vetores em β são linearmente independentes e se geram todo o espaço R3. Para verificar a linearmente independência, podemos montar um sistema linear com os vetores em β como coeficientes e igualando a um vetor nulo. Assim, temos: x + y + 3z = 0 x + 2y + z = 0 x + 3y = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos que x = y = z = 0, ou seja, a única solução é a trivial. Portanto, β é linearmente independente. Para verificar se β gera todo o espaço R3, podemos montar um sistema linear com os vetores em β como coeficientes e igualando a um vetor qualquer em R3. Assim, temos: x + y + 3z = a x + 2y + z = b x + 3y = c Resolvendo esse sistema, encontramos que x = -b + 5c - 3a, y = 2a - c, e z = a. Portanto, qualquer vetor em R3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores em β. Logo, β é uma base do R3. b) Para encontrar as coordenadas do vetor u = (4, -5, 3) na base β, precisamos encontrar os escalares x, y e z tais que: x(1, 1, 1) + y(1, 2, 0) + z(3, 1, 0) = (4, -5, 3) Isso nos leva ao sistema linear: x + y + 3z = 4 x + 2y + z = -5 x = 3 Resolvendo esse sistema, encontramos que x = 3, y = -5 e z = 2. Portanto, as coordenadas do vetor u na base β são (3, -5, 2).