Encontre os valores de α e β de modo que sejam colineares os pontos (3,1,2), (1,5,1) e (α,β,7)-.

Para que os pontos (3,1,2), (1,5,1) e (α,β,7) sejam colineares, é necessário que eles estejam na mesma reta. Podemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (3,1,2) e (1,5,1) utilizando o método de vetores. Um vetor diretor da reta é dado pela subtração dos vetores que ligam os pontos (3,1,2) e (1,5,1), respectivamente, ao ponto genérico (x,y,z) pertencente à reta: (3,1,2) - (x,y,z) = (3-x, 1-y, 2-z) (1,5,1) - (x,y,z) = (1-x, 5-y, 1-z) Como os pontos estão na mesma reta, os vetores diretores devem ser paralelos, ou seja, um é múltiplo escalar do outro. Assim, podemos escrever: (3-x, 1-y, 2-z) = k(1-x, 5-y, 1-z) Igualando as coordenadas correspondentes, temos: 3-x = k(1-x) 1-y = k(5-y) 2-z = k(1-z) Resolvendo o sistema, encontramos: x = -1/2k + 5/2 y = 1/2k + 1/2 z = -1/2k + 9/2 Substituindo esses valores na equação do vetor diretor, temos: (α,β,7) - (x,y,z) = k(3-x, 1-y, 2-z) Substituindo os valores de x, y e z, temos: (α,β,7) - (-1/2k + 5/2, 1/2k + 1/2, -1/2k + 9/2) = k(7/2, -1/2, 5/2) Igualando as coordenadas correspondentes, temos: α + 1/2k - 5/2 = 7/2k β - 1/2k - 1/2 = -1/2k 7 + 1/2k - 9/2 = 5/2k Resolvendo o sistema, encontramos: k = -2 α = -3 β = 3 Portanto, os valores de α e β que fazem com que os pontos (3,1,2), (1,5,1) e (α,β,7) sejam colineares são α = -3 e β = 3.