Sabendo que o campo vetorial dado pela função abaixo é conservativo, determine a função potencial e assinale a alternativa correta. F(x,y,z) = (yz+...

Para determinar a função potencial de um campo vetorial conservativo, é necessário calcular a integral de linha do campo vetorial. Se a integral de linha for independente do caminho, então o campo vetorial é conservativo e a função potencial pode ser encontrada integrando-se uma das componentes do campo vetorial. No caso do campo vetorial F(x,y,z) = (yz+2) i + (xz+1) j+(xy+2z)k, podemos verificar que ele é conservativo calculando o rotacional do campo vetorial, que é igual a zero. Assim, podemos encontrar a função potencial integrando-se uma das componentes do campo vetorial. Vamos integrar a primeira componente: ∫(yz+2)dx = xyz + 2x + C1(y,z) Agora, vamos derivar essa expressão em relação a y e em relação a z, para encontrar as outras duas constantes de integração: ∂/∂y (xyz + 2x + C1(y,z)) = x + C2(z) ∂/∂z (xyz + 2x + C1(y,z)) = y + C3(z) Substituindo as constantes de integração encontradas na função potencial, temos: f(x,y,z) = xyz + 2x + (1/2)(xz^2 + zy^2) + C Portanto, a alternativa correta é a letra D.