Exercício 5: Resolva: (a) arcsen(2????2 − 1) = −????/6 (b) arccos(9????2 − 3/2) = 2????/3 (c) −π/3 ≤ arcsen(2????) ≤ π/3 (d) arccos(√2 ???? − √2) ≤ 3????/4 Reso...

Exercício 5: Resolva:
(a) arcsen(2????2 − 1) = −????/6
(b) arccos(9????2 − 3/2) = 2????/3
(c) −π/3 ≤ arcsen(2????) ≤ π/3
(d) arccos(√2 ???? − √2) ≤ 3????/4

Resolução:
(a) arcsen(2????2 − 1) = −????/6

Mudando a variável, fazendo ???? = 2????2 − 1, temos que arcsen ???? = −????/6, resolvendo em ????,

arcsen ???? = −????/6 ⟺ ???? = −1/2 (ver no círculo do Exercício1a )

Voltando à variável original ????,

2????2 − 1 = −1/2 ⟺ 2????2 = 1 − 1/2 ⟺ 2????2 = 1/2 ⟺ ????2 = 1/4 ⟺ ???? = ±1/2. Solução ???? = {−1/2, 1/2}

(b) arccos(9????2 − 3/2) = 2????/3

Mudando a variável, fazendo ???? = 9????2 − 3/2, temos que arccos ???? = 2????/3, resolvendo em ????,

arccos ???? = 2????/3 ⟺ ???? = −1/2 (ver no círculo do Exercício1b)

Voltando à variável original ????,

9????2 − 3/2 = −1/2 ⟺ 9????2 = 3/2−1/2 ⟺ 9????2 = 1 ⟺ ????2 = 1/9 ⟺ ???? = ±1/3 Solução ???? = {−1/3, 1/3}.

(c) −π/3 ≤ arcsen(2????) ≤ π/3

Mudando a variável, fazendo ???? = 2????, temos que −π/3 ≤ arcsen ???? ≤ π/3, resolvendo em ????,

−π/3 ≤ arcsen ???? ≤ π/3 ⟺ −√3/2 ≤ ???? ≤ √3/2 (ver no círculo do Exercício 1a)

Voltando à variável original ????,

−√3/2 ≤ 2???? ≤ √3/2 ⟺ −√3/4 ≤ ???? ≤ √3/4

Solução ???? = [−√3/4, √3/4]

(d) arccos(√2 ???? − √2) ≤ 3????/4

Mudando a variável, fazendo ???? = √2 ???? − √2, temos que arccos ???? ≤ 3????/4, resolvendo em ????,

arccos ???? ≤ 3????/4 ⟺ −√2/2 ≤ ???? ≤ 1 (ver no círculo do Exercício1b)

Voltando à variável original ????,

−√2/2 ≤ √2 ???? − √2 ≤ 1 ⟺ −√2/2+√2 ≤ √2 ???? ≤ 1+√2 ⟺ √2/2 ≤ √2 ???? ≤ 1+√2 ⟺ 1/2 ≤ ???? ≤ (√2+1)/2

Solução ???? = [1/2, (√2+1)/2]
(a)
(b)
(c)
(d)
arcsen(2????2 − 1) = −????/6
arccos(9????2 − 3/2) = 2????/3
−π/3 ≤ arcsen(2????) ≤ π/3
arccos(√2 ???? − √2) ≤ 3????/4