Encontre a solução da equação diferencial homogênea, utilizando redução de ordem, sabendo que uma das soluções é e^-3x, ((d^2)y/(dx^2)) + (2 x (dy/...

Primeiramente, vamos encontrar a segunda solução da equação diferencial homogênea utilizando o método da redução de ordem. Assumindo que a segunda solução é da forma y2(x) = v(x) * y1(x), onde y1(x) = e^(-3x) é a solução conhecida, temos: y2'(x) = v'(x) * y1(x) + v(x) * y1'(x) y2''(x) = v''(x) * y1(x) + 2 * v'(x) * y1'(x) + v(x) * y1''(x) Substituindo y2(x), y2'(x) e y2''(x) na equação diferencial, temos: v''(x) * y1(x) + 2 * v'(x) * y1'(x) + v(x) * y1''(x) + 2 * (dy1/dx) * (v'(x) * y1(x) + v(x) * y1'(x)) - 3 * v(x) * y1(x) = 0 Simplificando a equação, temos: v''(x) + (2 * dy1/dx - 3 * y1(x)) * v'(x) = 0 Substituindo y1(x) e dy1/dx na equação, temos: v''(x) - 6 * e^(-3x) * v'(x) = 0 Agora, vamos resolver a equação diferencial acima. Fazendo a substituição v(x) = u(x) * e^(-3x), temos: v'(x) = u'(x) * e^(-3x) - 3 * u(x) * e^(-3x) v''(x) = u''(x) * e^(-3x) - 6 * u'(x) * e^(-3x) + 9 * u(x) * e^(-3x) Substituindo v(x), v'(x) e v''(x) na equação diferencial, temos: u''(x) = 0 Integrando duas vezes, temos: u(x) = Ax + B Portanto, a segunda solução da equação diferencial homogênea é: y2(x) = (Ax + B) * e^(-3x) Assim, a solução geral da equação diferencial homogênea é: y(x) = c1 * e^(-3x) + c2 * (x * e^(-3x))