Determine o volume do sólido que é delimitado pelo parabolóide z=16-x²-2y² e acima do quadrado R=[0,2]x[0,2]

Para determinar o volume do sólido delimitado pelo parabolóide \( z = 16 - x^2 - 2y^2 \) e acima do quadrado \( R = [0,2] \times [0,2] \), você pode usar a integral dupla. 1. Defina a função: A função que define a altura do sólido é \( z = 16 - x^2 - 2y^2 \). 2. Configuração da integral: O volume \( V \) pode ser encontrado pela integral dupla: \[ V = \iint_R (16 - x^2 - 2y^2) \, dA \] onde \( R \) é o quadrado \( [0,2] \times [0,2] \). 3. Calcule a integral: \[ V = \int_0^2 \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy \, dx \] 4. Integração em relação a \( y \): \[ V = \int_0^2 \left[ 16y - x^2y - 2\frac{y^3}{3} \right]_0^2 \, dx \] \[ = \int_0^2 \left( 32 - 2x^2 - \frac{16}{3} \right) \, dx \] \[ = \int_0^2 \left( \frac{96}{3} - 2x^2 - \frac{16}{3} \right) \, dx \] \[ = \int_0^2 \left( \frac{80}{3} - 2x^2 \right) \, dx \] 5. Integração em relação a \( x \): \[ V = \left[ \frac{80}{3}x - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2 \] \[ = \left( \frac{80}{3} \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 8 \right) - 0 \] \[ = \frac{160}{3} - \frac{16}{3} = \frac{144}{3} = 48 \] Portanto, o volume do sólido é \( V = 48 \) unidades cúbicas.