1. A soma de três números positivos em progressão aritmética é 30. Se esses números forem aumentados de 1, 4 e 14, respectivamente, os novos número...

Seja "a" o primeiro termo da progressão aritmética e "r" a razão. Então, temos: a + (a + r) + (a + 2r) = 30 (soma dos três termos da P.A.) 3a + 3r = 30 a + r = 10 Agora, aumentando os três termos em 1, 4 e 14, respectivamente, obtemos uma progressão geométrica. Assim, temos: (a + 1) = a . q (a + r + 4) = (a + r) . q^2 (a + 2r + 14) = (a + 2r) . q^3 Substituindo a + r por 10 na primeira equação, temos: a + 1 = 10q q = (a + 1)/10 Substituindo q na segunda equação, temos: (a + 10 + 4) = (a + 10) . [(a + 1)/10]^2 a + 14 = (a + 10) . [(a + 1)^2/100] 100a + 1400 = (a + 10) . (a^2 + 2a + 1) 100a + 1400 = a^3 + 12a^2 + 51a + 10 a^3 + 12a^2 - 49a - 1390 = 0 Resolvendo essa equação do terceiro grau, encontramos: a = 5 r = 5 Portanto, os três números em progressão aritmética são 5, 10 e 15. Aumentando esses números em 1, 4 e 14, respectivamente, obtemos a progressão geométrica 6, 40 e 960.