Resolva a seguinte equação diferencial separável . Escolha uma opção: a. b. c.  d. e. ( + )dx + (2xy + cos(y))dy = 0x2 y2 F (x, y) = + 5x − sen(y...

Para resolver a equação diferencial separável dada, podemos seguir os seguintes passos: 1. Isolar os termos que contêm y e seus diferenciais no lado esquerdo da equação e os termos que contêm x e seus diferenciais no lado direito da equação: (2xy + cos(y))dy = - (x^2 + 5x - sen(y))dx 2. Dividir ambos os lados da equação por (2xy + cos(y)) e dx: dy / (2xy + cos(y)) = -dx / (x^2 + 5x - sen(y)) 3. Integrar ambos os lados da equação em relação às suas variáveis correspondentes: ∫ dy / (2xy + cos(y)) = -∫ dx / (x^2 + 5x - sen(y)) 4. Resolver as integrais usando técnicas de substituição e integração por partes: Para a integral do lado esquerdo, podemos fazer a substituição u = 2xy + cos(y), du = (2x - sen(y))dy: ∫ dy / (2xy + cos(y)) = (1/2) ∫ du / u = (1/2) ln|2xy + cos(y)| + C1 Para a integral do lado direito, podemos fazer a substituição v = x^2 + 5x - sen(y), dv = (-cos(y))dy: -∫ dx / (x^2 + 5x - sen(y)) = -∫ dx / v = -ln|v| + C2 Substituindo de volta as variáveis originais, temos: (1/2) ln|2xy + cos(y)| = ln|x^2 + 5x - sen(y)| + C Simplificando e resolvendo para y, temos: y = ±√(3sin(x) / (2x)) + cos(x) - (1/2) ln|2x + cos(x)| + C Portanto, a resposta correta é a letra d.