(Fuvest/Vestibular) Na figura, A = (3, 4), M = (9, 12), AB // MN e AC // MP. A área do triângulo ABC é 8. A área do triângulo MNP é: X 72 24 8/9 8...

Para encontrar a área do triângulo MNP, precisamos primeiro encontrar as coordenadas dos pontos B e C. Como AB // MN e A = (3, 4), temos que B = (x, y), onde x = 9 + (3 - 4) = 8 e y = 12 + (4 - 3) = 13. Da mesma forma, como AC // MP e A = (3, 4), temos que C = (x, y), onde x = 3 + (9 - 3)/2 = 6 e y = 4 + (12 - 4)/2 = 8. Agora que temos as coordenadas dos pontos B e C, podemos calcular a área do triângulo ABC usando a fórmula da área do triângulo: Área ABC = |(xB - xA)(yC - yA) - (xC - xA)(yB - yA)|/2 = |(8 - 3)(8 - 4) - (6 - 3)(13 - 4)|/2 = 5*4 - 3*9 = 8 Como a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre seus lados correspondentes, temos que: Área MNP/Área ABC = (MN/AB)^2 = (MP/AC)^2 Como AB // MN e AC // MP, temos que: MN/AB = NP/BC = MP/AC Assim, podemos escrever: Área MNP/Área ABC = (MN/AB)^2 = (MP/AC)^2 = (NP/BC)^2 Como a área do triângulo ABC é 8, temos que: Área MNP = Área ABC * (MN/AB)^2 = 8 * (MN/AB)^2 Para encontrar MN/AB, podemos usar a semelhança entre os triângulos ABC e MNP: MN/AB = NP/BC = MP/AC = (MN + NP)/AB Como MN + NP = MP, temos que: MN/AB = MP/2AB Como M = (9, 12) e A = (3, 4), temos que: MP = √[(9 - 3)^2 + (12 - 4)^2] = √(6^2 + 8^2) = 10 Assim, temos que: MN/AB = MP/2AB = 10/2(AB) = 5/AB Como AB = √[(8 - 3)^2 + (13 - 4)^2] = √(5^2 + 9^2) = √106, temos que: MN/AB = 5/√106 Portanto, a área do triângulo MNP é: Área MNP = 8 * (MN/AB)^2 = 8 * (5/√106)^2 = 8 * 25/106 = 200/53 ≈ 3,774.72 Resposta: alternativa D) 8/3.