QUESTÃO 3) (5 pontos) Considere ???????? = ???? o sistema de equações lineares, sendo ???? = ( 2 −1 0 3 −2 0 0 5 5 ) e ???? = ( −3 −5 6 ). a) Escreva a igu...

a) A igualdade ???????? = ???????? pode ser escrita como ????x = ???? , onde ???? é a matriz dos coeficientes, ???? é o vetor das incógnitas e ???? é o vetor dos termos independentes. Substituindo os valores dados, temos: ( 2 −1 0 3 −2 0 0 5 5 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( −3 −5 6 ) Assim, temos que a matriz dos coeficientes é ???? = ( 2 −1 0 3 −2 0 0 5 5 ), o vetor das incógnitas é ???? = ( x 1 x 2 x 3 ) e o vetor dos termos independentes é ???? = ( −3 −5 6 ). Para determinar a matriz de permutação ???? , é necessário realizar a pivotação parcial da matriz dos coeficientes. Como a primeira linha tem o maior valor absoluto, não é necessário trocar as linhas. Portanto, a matriz de permutação é a matriz identidade, ou seja, ???? = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ). b) Para resolver o sistema pelo método de decomposição LU com pivotação parcial, é necessário realizar as seguintes etapas: 1. Fatoração LU com pivotação parcial: ???? = ???? ???? ???? , onde ???? é a matriz de permutação, ???? é a matriz triangular inferior com elementos unitários na diagonal e ???? é a matriz triangular superior. 2. Resolver o sistema ????y = ???? , onde ???? é o vetor dos termos independentes e ???? é o vetor das incógnitas. 3. Resolver o sistema ????x = ???? , onde ???? é o vetor das incógnitas obtido na etapa anterior. Realizando as operações, temos: 1. Fatoração LU com pivotação parcial: Passo 1: Trocar a primeira linha pela terceira linha, pois o elemento (1,1) é o maior valor absoluto. ( 2 −1 0 3 −2 0 0 5 5 ) → ( 0 −1 5 3 −2 0 2 5 0 ) Passo 2: Dividir a primeira linha pelo pivô (1,1). ( 0 −1 5 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) Passo 3: Subtrair o múltiplo da primeira linha da segunda e terceira linhas. ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) ( 0 −1 5 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 0 −1 5 0 4 0 −6 0 0 ) Passo 4: Trocar a segunda linha pela terceira linha, pois o elemento (2,2) é o maior valor absoluto. ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) ( 0 −1 5 0 4 0 −6 0 0 ) → ( 0 1 0 0 4 5 −6 0 0 ) Assim, temos que a matriz de permutação é ???? = ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ), a matriz triangular inferior com elementos unitários na diagonal é ???? = ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) e a matriz triangular superior é ???? = ( 0 −1 5 0 4 5 0 0 6 ). 2. Resolver o sistema ????y = ???? : Substituindo os valores, temos: ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) ( y 1 y 2 y 3 ) = ( 0 −5 6 ) Resolvendo o sistema, temos: y 1 = 0 y 2 = 5 y 3 = −3 3. Resolver o sistema ????x = ???? : Substituindo os valores, temos: ( 0 −1 5 0 4 5 0 0 6 ) ( x 1 x 2 x 3 ) = ( 0 5 −3 ) Resolvendo o sistema, temos: x 1 = −1 x 2 = 2 x 3 = 1 Portanto, a solução do sistema é ???? = ( −1 2 1 ). c) Para calcular o determinante da matriz ????, é necessário realizar a pivotação parcial e multiplicar os elementos da diagonal principal da matriz triangular superior obtida. Realizando as operações, temos: Passo 1: Trocar a primeira linha pela terceira linha, pois o elemento (1,1) é o maior valor absoluto. ( 2 −1 0 3 −2 0 0 5 5 ) → ( 0 −1 5 3 −2 0 2 5 0 ) Passo 2: Dividir a primeira linha pelo pivô (1,1). ( 0 −1 5 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) Passo 3: Subtrair o múltiplo da primeira linha da segunda e terceira linhas. ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) ( 0 −1 5 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 0 −1 5 0 4 0 −6 0 0 ) Passo 4: Trocar a segunda linha pela terceira linha, pois o elemento (2,2) é o maior valor absoluto. ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) → ( 1 0 0 3 −2 0 2 5 0 ) ( 0 −1 5 0 4 0 −6 0 0 ) → ( 0 1 0 0 4 5 −6 0 0 ) Assim, temos que a matriz triangular superior é ???? = ( 0 −1 5 0 4 5 0 0 6 ). Multiplicando os elementos da diagonal principal, temos: det ( ???? ) = 0 × 4 × 6 = 0 Portanto, o determinante da matriz ???? é igual a zero.