(CESGRANRIO-Adaptada) Seja S o subespaço vetorial de R³ formado por todos os termos (x,y,z) que são soluções do sistema linear: {2x + y + 3z = 0 {...

Para verificar as afirmativas, podemos utilizar o método de escalonamento para encontrar a solução do sistema linear e, assim, determinar as propriedades do subespaço vetorial S. O sistema linear pode ser representado pela matriz aumentada [2 1 3 0; 1 -1 2 0]. Realizando as operações elementares, obtemos a matriz [1 0 1/2 0; 0 1 1 0], que representa o sistema linear equivalente. Assim, podemos escrever as soluções do sistema como combinações lineares dos vetores (2,1,3) e (1,-1,2): (2,1,3) = -1/2(1,-1,2) + (3,0,1) (1,-1,2) = -2(1,-1,2) + (0,3,-2) Portanto, o espaço gerado pelos vetores (2,1,3) e (1,-1,2) é igual ao espaço gerado pelo vetor (3,0,1), que é uma base para S. Logo, a afirmativa I está correta. Como S é gerado por um único vetor, sua dimensão é 1. Portanto, a afirmativa II também está correta. Para verificar se o vetor (5,2,3) está em S, podemos tentar escrevê-lo como combinação linear do vetor (3,0,1): (5,2,3) = a(3,0,1) Resolvendo o sistema linear, obtemos a = 5/3 e, portanto, o vetor (5,2,3) não pertence a S. Assim, a afirmativa III está incorreta. Portanto, a resposta correta é letra A) I e II apenas.