Questão 5. Mostre pelo teorema de Rolle que a função f : [0, π/2] → R dada por f(x) = cos2(x) + sen(x) + (x− π/4)2 admite um x ∈ (0, π/2) tal que f...

Para aplicar o teorema de Rolle, precisamos verificar se a função f(x) é contínua no intervalo [0, π/2] e diferenciável no intervalo aberto (0, π/2). Podemos verificar que a função f(x) é contínua em [0, π/2] pois é uma soma de funções contínuas. Para verificar se f(x) é diferenciável em (0, π/2), precisamos calcular sua derivada: f'(x) = -2sen(x) + cos(x) + 2(x - π/4) Agora, precisamos encontrar um ponto c em (0, π/2) onde f'(c) = 0. Podemos resolver a equação f'(x) = 0: -2sen(x) + cos(x) + 2(x - π/4) = 0 Multiplicando tudo por -1, temos: 2sen(x) - cos(x) - 2(x - π/4) = 0 Podemos resolver essa equação usando métodos numéricos ou gráficos, ou podemos notar que a função f'(x) é contínua e que f'(0) é negativo e f'(π/2) é positivo. Portanto, pelo teorema do valor intermediário, existe pelo menos um ponto c em (0, π/2) onde f'(c) = 0. Assim, podemos concluir que a função f(x) admite um ponto crítico em (0, π/2) onde sua derivada é igual a zero, pelo teorema de Rolle.