36. (Ufsm 99) Sabendo que uma das raízes da equação 2x¤-3x£-x+m=0 é solução de sen(™š/6)=1, com 0´š´™, então o produto das raízes da equação polino...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação polinomial. Sejam r1 e r2 as raízes da equação 2x² - 3x - x + m = 0, temos: r1 + r2 = 3/2 r1 * r2 = m/2 Sabemos que uma das raízes é solução da equação sen(π/6) = 1, ou seja, sen(30°) = 1. Como o seno é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos duas possibilidades para essa raiz: 30° ou 150°. Se a raiz for 30°, temos: sen(30°) = r1 cos(30°) = √3/2 r2 = 3/2 - r1 r1 * r2 = m/2 r1 * (3/2 - r1) = m/2 3r1/2 - r1² = m/2 -r1² + 3r1/2 - m/2 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos: Δ = (3/2)² - 4*(-1)*(m/2) = 9/4 + m r1 = (-(3/2) + √Δ)/(-2) = (3 - √(9 + 4m))/2 r2 = (-(3/2) - √Δ)/(-2) = (3 + √(9 + 4m))/2 O produto das raízes é: r1 * r2 = [(3 - √(9 + 4m))/2] * [(3 + √(9 + 4m))/2] r1 * r2 = (9 - (9 + 4m))/4 r1 * r2 = -m/4 Se a raiz for 150°, temos: sen(150°) = r1 cos(150°) = -√3/2 r2 = 3/2 - r1 r1 * r2 = m/2 r1 * (3/2 - r1) = m/2 3r1/2 - r1² = m/2 -r1² + 3r1/2 - m/2 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos: Δ = (3/2)² - 4*(-1)*(m/2) = 9/4 + m r1 = (-(3/2) + √Δ)/(-2) = (3 - √(9 + 4m))/2 r2 = (-(3/2) - √Δ)/(-2) = (3 + √(9 + 4m))/2 O produto das raízes é: r1 * r2 = [(3 - √(9 + 4m))/2] * [(3 + √(9 + 4m))/2] r1 * r2 = (9 - (9 + 4m))/4 r1 * r2 = -m/4 Portanto, o produto das raízes da equação polinomial é -m/4, independentemente da escolha da raiz que satisfaz a equação sen(π/6) = 1. A alternativa correta é a letra A) -1/2.