8. Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2p é dado.

Para determinar as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2p é dado, podemos utilizar o método da derivada. Sejam x e y as dimensões do retângulo. Temos que a área A é dada por A = xy e o perímetro P é dado por P = 2x + 2y = 2(x + y). Podemos isolar uma das variáveis em função da outra na equação do perímetro, por exemplo, y = P/2 - x. Substituindo na equação da área, temos A = x(P/2 - x) = Px/2 - x^2. Para encontrar o valor máximo da área, basta derivar a expressão em relação a x e igualar a zero: dA/dx = P/2 - 2x = 0 Portanto, x = P/4. Substituindo na equação do perímetro, temos y = P/4. Portanto, as dimensões do retângulo de área máxima são x = y = P/4.