6. Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe ...

a) Para a função posição r(t) = ⟨−1/2t^2, t⟩, temos que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo: v(t) = r'(t) = ⟨-t, 1⟩ Substituindo t = 2, temos: v(2) = ⟨-2, 1⟩ A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade: |v(2)| = √((-2)^2 + 1^2) = √5 A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = v'(t) = ⟨-1, 0⟩ Substituindo t = 2, temos: a(2) = ⟨-1, 0⟩ b) Para a função posição r(t) = ⟨2− t, 4/√t⟩, temos que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo: v(t) = r'(t) = ⟨-1, -2/(√t^3)⟩ Substituindo t = 1, temos: v(1) = ⟨-1, -2⟩ A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade: |v(1)| = √((-1)^2 + (-2)^2) = √5 A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = v'(t) = ⟨0, 6/(t^(5/2))⟩ Substituindo t = 1, temos: a(1) = ⟨0, 6⟩ c) Para a função posição r(t) = 3 cos ti + 2 sin tj, temos que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo: v(t) = r'(t) = ⟨-3 sin t, 2 cos t⟩ Substituindo t = π/3, temos: v(π/3) = ⟨-3√3/2, 1⟩ A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade: |v(π/3)| = √((-3√3/2)^2 + 1^2) = √27/2 A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = v'(t) = ⟨-3 cos t, -2 sin t⟩ Substituindo t = π/3, temos: a(π/3) = ⟨-3/2, -√3⟩ d) Para a função posição r(t) = ti + t^2j + 2k, temos que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo: v(t) = r'(t) = ⟨1, 2t⟩ Substituindo t = 1, temos: v(1) = ⟨1, 2⟩ A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade: |v(1)| = √(1^2 + 2^2) = √5 A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t) = v'(t) = ⟨0, 2⟩ Substituindo t = 1, temos: a(1) = ⟨0, 2⟩ Para esboçar a trajetória da partícula e desenhar os vetores velocidade e aceleração, é necessário um gráfico em três dimensões, o que não é possível aqui.