97. (Ufsm) Seja f: ]0, ™/2[ ë IR a função definida por f(x) = [sen(™+x)+tgx + cos(™/2 - x)]/cotgx. Sabendo-se que senš = (Ë2)/3, com 0 < š < ™/2, e...

Para encontrar o valor de f(š), basta substituir o valor de š na expressão de f(x) e simplificar. f(x) = [sen(™+x)+tgx + cos(™/2 - x)]/cotgx f(š) = [sen(™+š)+tgš + cos(™/2 - š)]/cotgš Sabemos que senš = (Ë2)/3, então: f(š) = [sen(™+š)+tgš + cos(™/2 - š)]/cotgš f(š) = [(sen™ * cosš + cos™ * senš) / (cosš / senš)] + tgš + cos(™/2 - š) * (senš / cosš) f(š) = [(sen™ * cosš + cos™ * (Ë2)/3) / (cosš / (Ë2)/3)] + tgš + cos(™/2 - š) * ((Ë2)/3 / cosš) f(š) = [(sen™ * cosš * (Ë2)/3 + cos™ * (Ë2)/3) / cosš] + tgš + cos(™/2 - š) * ((Ë2)/3 / cosš) f(š) = [(Ë2)/3 * (sen™ * cosš + cos™)] / cosš + tgš + (Ë2)/3 * (senš / cosš) * cos(™/2 - š) f(š) = [(Ë2)/3 * (sen™ * cosš + cos™)] / cosš + tgš + (Ë2)/3 * (Ë2)/3 * cos(™/2 - š) f(š) = [(Ë2)/3 * (sen™ * cosš + cos™)] / cosš + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) Agora, basta substituir os valores de sen™ e cosš: sen™ = (Ë2)/3 e cosš = (Ë7)/3 f(š) = [(Ë2)/3 * ((Ë7)/3) + cos™] / ((Ë7)/3) + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) f(š) = [(2Ë7)/9 + cos™] / ((Ë7)/3) + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) Agora, basta substituir o valor de cos™: cos™ = cos(™/2 + ™/2) = -sen(™/2) = -(Ë5)/3 f(š) = [(2Ë7)/9 - (Ë5)/3] / ((Ë7)/3) + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) f(š) = [(2Ë7 - 3Ë5)/9] / ((Ë7)/3) + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) f(š) = [(6Ë7 - 9Ë5)/27] / ((Ë7)/3) + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) f(š) = [(18Ë7 - 27Ë5)/63] + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) f(š) = [(6Ë7 - 9Ë5)/21] + tgš + (2/9) * cos(™/2 - š) Portanto, a alternativa correta é a letra A) (7Ë2)/2.