Sendo u⃗ =(−1,−3,1) , v⃗ =(1,0,1) e w⃗ =(2,1,1) , o produto misto (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ ) é igual a: a. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=1 b. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=2 c. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−4 d. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−1 e. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=−2

Question

Sendo u⃗ =(−1,−3,1) , v⃗ =(1,0,1)  e w⃗ =(2,1,1) , o produto misto (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )  é igual a:  a. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=1  b. (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=2  c. (u⃗ ,v⃗ ,w...

Ed · Answer

Para calcular o produto misto $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$, utilizamos a fórmula:

$$
(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})
$$

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $\vec{v} \times \vec{w}$:

$$
\vec{v} = (1, 0, 1) \quad \text{e} \quad \vec{w} = (2, 1, 1)
$$

O produto vetorial é dado por:

$$
\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
1 & 0 & 1 \
2 & 1 & 1
\end{vmatrix}
$$

Calculando o determinante:

$$
\vec{v} \times \vec{w} = \hat{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2)
$$
$$
= \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(1 - 2) + \hat{k}(1 - 0)
$$
$$
= -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}
$$
$$
= (-1, 1, 1)
$$

Agora, calculamos o produto escalar $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$:

$$
\vec{u} = (-1, -3, 1)
$$
$$
\vec{v} \times \vec{w} = (-1, 1, 1)
$$

Calculando o produto escalar:

$$
\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = (-1)(-1) + (-3)(1) + (1)(1)
$$
$$
= 1 - 3 + 1 = -1
$$

Portanto, o produto misto $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ é igual a $-1$.

A alternativa correta é: d) $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = -1$.

Ed · Answer

O produto misto entre os vetores u⃗ =(−1,−3,1), v⃗ =(1,0,1) e w⃗ =(2,1,1) é dado por:

(u⃗ ,v⃗ ,w⃗ ) = u⃗ .(v⃗ ×w⃗ )

Calculando o produto vetorial entre v⃗ e w⃗ :

v⃗ ×w⃗ = 
| i    j    k  |
| 1    0    1  |
| 2    1    1  |
= i(0-1) - j(1-2) + k(0-2)
= -i + j - 2k

Substituindo o resultado do produto vetorial na fórmula do produto misto:

(u⃗ ,v⃗ ,w⃗ ) = u⃗ .(-i + j - 2k)
= (-1, -3, 1) . (-1, 1, -2)
= -1(−1) + (-3)(1) + 1(-2)
= 1

Portanto, a alternativa correta é a letra a) (u⃗ ,v⃗ ,w⃗ )=1.

Geometria Analítica

Atividade Unidade I

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Dados dois vetores u⃗ =(2,4) e v⃗ =(6,1) , assinale a alternativa que apresenta os resultados de u⃗ +v⃗ e 2u⃗ , respectivamente. a. (6,7) e (2,8) b. (8,5) e (4,8) c. (6,4) e (2,8) d. (3,10) e (4,4) e. (8,3) e (4,8)

Dados os pontos A=(x1,y1,z1) e B=(x2,y2,z2) , temos o ponto médio do segmento AB é o ponto M=(x1+x22,y1+y22,z1+z22) . Se A=(3,−2,−1) e B=(−1,4,7) , então M é igual a: a. M=(4,2,1) b. M=(0,1,3) c. M=(1,1,3) d. M=(0,2,3) e. M=(1,2,3)

Seja a reta r determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,−2,3) . A equação simétrica da reta é: a. r:x−1−2=y2=z−1−2 b. r:x+2−1=y−21=z+2−1 c. r:x−12=y−2=z−12 d. r:x+12=y−2=z+12 e. r:x−1−2=y−2=z−1−2

Sendo u⃗ =(−1,2,0) e v⃗ =(3,−3,4) , então o vetor w⃗ =2v⃗ −3u⃗ é: a. w⃗ =(3,−12,8) b. w⃗ =(3,0,8) c. w⃗ =(9,0,8) d. w⃗ =(9,−12,11) e. w⃗ =(9,−12,8)

Dados os vetores: v⃗ =2i⃗ −2j⃗ +k⃗ e u⃗ =3i⃗ −6j⃗, a projeção ortogonal de v⃗ sobre u⃗ é:
a. proju⃗ v⃗ =(2,−2,1)
b. proju⃗ v⃗ =(−2,2,1)
c. proju⃗ v⃗ =(1,−1,12)
d. proju⃗ v⃗ =(4,−4,2)
e. proju⃗ v⃗ =(8,−8,4)

Considere o plano π, que contém os pontos A=(1,0,1) , B=(−1,0,1) e C=(2,1,2) . Uma equação de π é dada por: a. π:2y−2z+2=0 b. π:2x−2y+2z=0 c. π:2x−2y+1=0 d. π:2x−2z−1=0 e. π:2x+2y−2z+2=0

Dados os vetores u⃗ =(2,0,−3) e v⃗ =(1,1,1) , então o ângulo θ formado por u⃗ e v⃗ é igual a: a. θ=arccos(−113√) b. θ=arccos(−139√) c. θ=arccos(139√) d. θ=arccos(113√) e. θ=arccos(113√)

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Seja a reta r determinada pelos pontos A=(1,0,1) e B=(3,−2,3) . A equação simétrica da reta é: a. r:x−1−2=y2=z−1−2 b. r:x+2−1=y−21=z+2−1 c. r:x−12=y−2=z−12 d. r:x+12=y−2=z+12 e. r:x−1−2=y−2=z−1−2

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Dados os vetores: v⃗ =2i⃗ −2j⃗ +k⃗ e u⃗ =3i⃗ −6j⃗, a projeção ortogonal de v⃗ sobre u⃗ é:a. proju⃗ v⃗ =(2,−2,1)b. proju⃗ v⃗ =(−2,2,1)c. proju⃗ v⃗ =(1,−1,12)d. proju⃗ v⃗ =(4,−4,2)e. proju⃗ v⃗ =(8,−8,4)

Considere o plano π, que contém os pontos A=(1,0,1) , B=(−1,0,1) e C=(2,1,2) . Uma equação de π é dada por: a. π:2y−2z+2=0 b. π:2x−2y+2z=0 c. π:2x−2y+1=0 d. π:2x−2z−1=0 e. π:2x+2y−2z+2=0

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e. proju⃗ v⃗ =(8,−8,4)