3. Para cada um dos seguintes itens, determine a derivada indicada: a) (1999 – 1) dx dy , sendo )(xfy = dada implicitamente pela equação 3)1( ln =+...

a) Para encontrar a derivada de (1999-1)dx dy, precisamos usar a regra da cadeia. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de x e y em relação a t, que é dado implicitamente pela equação 3)1(ln=+−yxey. Temos: ∂x/∂t = 3/(1+x^2)e^y ∂y/∂t = -x/(1+y^2)e^y Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(1999-1)dx dy] = (1999-1)[(dx/dt)dy + (dy/dt)dx] = (1999-1)[(3/(1+x^2)e^y)(dy/dt) + (-x/(1+y^2)e^y)(dx/dt)] b) Para encontrar a derivada de (1999-2)dy dx, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de x e y em relação a t, que é dado implicitamente pela equação 333=++yxyx. Temos: ∂x/∂t = -2y/(1+x^2+y^2)^2 ∂y/∂t = -2x/(1+x^2+y^2)^2 Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(1999-2)dy dx] = (1999-2)[(dy/dt)dx + (dx/dt)dy] = (1999-2)[(-2y/(1+x^2+y^2)^2)dx + (-2x/(1+x^2+y^2)^2)dy] c) Para encontrar a derivada de (1999-2)dx dy, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Sabemos que 1)sen(22=−+yyx, então: ∂x/∂t = -2cos(2y+x) ∂y/∂t = cos(2x-y) Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(1999-2)dx dy] = (1999-2)[(dx/dt)dy + (dy/dt)dx] = (1999-2)[(-2cos(2y+x))dy + (cos(2x-y))dx] d) Para encontrar a derivada de (1998-1)P'y, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Sabemos que P(0,0) e )(xfy = uma função que satisfaz a equação 0)(sen)(. )21(ln)3(arccos=−++−+xyytgxxx. Então: ∂x/∂t = -3cos(arccos(2x-y)) ∂y/∂t = cos(2x-y) - 2y/(1+y^2) Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(1998-1)P'y] = (1998-1)[(dP/dt)y' + P(d/dt[y'])] = (1998-1)[(-3cos(arccos(2x-y)))y' + P(cos(2x-y) - 2y/(1+y^2))] e) Para encontrar a derivada de (1999-2)P'y, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Sabemos que )2,1(πP, então: ∂x/∂t = -2πcos(πx)sin(πy) ∂y/∂t = πsin(πx)cos(πy) Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(1999-2)P'y] = (1999-2)[(dP/dt)y' + P(d/dt[y'])] = (1999-2)[(-2πcos(πx)sin(πy))y' + P(πsin(πx)cos(πy))] f) Para encontrar a derivada de (2006-2)dx dy, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Sabemos que y é dada implicitamente por exeyxarctg x +=+4)(π, então: ∂x/∂t = (e^y + y)(1+ x^2) + 4πx^3e^y ∂y/∂t = (e^y + y)(1+ x^2) - 4πx^3e^y Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(2006-2)dx dy] = (2006-2)[(dx/dt)dy + (dy/dt)dx] = (2006-2)[((e^y + y)(1+ x^2) + 4πx^3e^y)dy + ((e^y + y)(1+ x^2) - 4πx^3e^y)dx] g) Para encontrar a derivada de (2006-1)dx dy, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Sabemos que y é dada implicitamente por yxyxy2233−=+, então: ∂x/∂t = -2x/(3x^2 + 3y^2 - 2) ∂y/∂t = -2y/(3x^2 + 3y^2 - 2) Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(2006-1)dx dy] = (2006-1)[(dx/dt)dy + (dy/dt)dx] = (2006-1)[(-2x/(3x^2 + 3y^2 - 2))dy + (-2y/(3x^2 + 3y^2 - 2))dx] h) Para encontrar a derivada de (2008-1)dx dy, precisamos usar a regra da cadeia novamente. Sabemos que y é dada implicitamente por 3332=++yxx, então: ∂x/∂t = -2x/(3x^2 + y^2)^2 ∂y/∂t = -2y/(x^2 + 3y^2)^2 Agora, podemos usar a regra da cadeia: d/dt[(2008-1)dx dy] = (2008-1)[(dx/dt)dy + (dy/dt)dx] = (2008-1)[(-2x/(3x^2 + y^2)^2)dy + (-2y/(x^2 + 3y^2)^2)dx]