Em R4 munido com o produto interno usual, seja W = [(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 2)]. Encontre um vetor w ∈W tal que ‖(1, 2, 3, 4)− w‖ seja a menor poss...

Para encontrar o vetor \( w \) em \( W \) tal que \( \lVert (1, 2, 3, 4) - w \rVert \) seja o menor possível, podemos usar a projeção ortogonal. A projeção ortogonal de \( (1, 2, 3, 4) \) em \( W \) é dada por: \[ \text{proj}_W(1, 2, 3, 4) = \frac{\langle (1, 2, 3, 4), w_1 \rangle}{\lVert w_1 \rVert^2}w_1 + \frac{\langle (1, 2, 3, 4), w_2 \rangle}{\lVert w_2 \rVert^2}w_2 \] Onde \( \langle \cdot, \cdot \rangle \) é o produto interno usual e \( \lVert \cdot \rVert \) é a norma euclidiana. Calculando os produtos internos e as normas, podemos encontrar o vetor \( w \) que minimiza \( \lVert (1, 2, 3, 4) - w \rVert \).