Sejam (G, ∗) e (S, ◦) grupos. Mostre que o conjunto F = {f : G → S : f ́e um homomorfismo} ́e um grupo com a opera ̧c ̃ao ◦: F × F → F, que leva ...

Para mostrar que o conjunto F é um grupo com a operação ◦, precisamos verificar se ele satisfaz as quatro propriedades de grupo: associatividade, existência de elemento neutro, existência de elemento inverso e fechamento. 1. Associatividade: Para todo f, g, h ∈ F e todo x ∈ G, temos que (f ◦ g) ◦ h (x) = f(x) ◦ g(x) ◦ h(x) = f(x) ◦ (g ◦ h)(x) = f ◦ (g ◦ h) (x), portanto, a operação ◦ é associativa. 2. Elemento neutro: A função identidade e: G → S, definida por e(x) = eS para todo x ∈ G, é um homomorfismo, pois e(x ∗ y) = eS = e(x) ◦ e(y) para todo x, y ∈ G. Além disso, para todo f ∈ F, temos que f ◦ e = e ◦ f = f, portanto, e é o elemento neutro de F. 3. Elemento inverso: Para todo f ∈ F, a função f ̄: G → S, definida por f ̄(x) = (f(x))^-1 para todo x ∈ G, é um homomorfismo, pois f ̄(x ∗ y) = (f(x) ◦ f(y))^-1 = f(y)^-1 ◦ f(x)^-1 = f ̄(y) ◦ f ̄(x) para todo x, y ∈ G. Além disso, temos que f ◦ f ̄ = f ̄ ◦ f = e, portanto, f ̄ é o inverso de f em F. 4. Fechamento: Para todo f, g ∈ F, a função f ◦ g é um homomorfismo, pois (f ◦ g)(x ∗ y) = f(x) ◦ g(x) ◦ f(y) ◦ g(y) = (f ◦ g)(x) ◦ (f ◦ g)(y) para todo x, y ∈ G. Portanto, f ◦ g ∈ F e F é fechado em relação à operação ◦. Assim, concluímos que F é um grupo com a operação ◦.