Para encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz space n cross times n primeiro encontramos as raízes da equação característica d e t left...

Para encontrar os autovalores da matriz A, precisamos encontrar as raízes da equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade. Substituindo os valores da matriz A, temos: det(A - λI) = det([2-λ 2; 2 2-λ]) Expandindo o determinante, temos: (2-λ)(2-λ) - 2.2 = λ² - 4λ = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: λ = 0 ou λ = 4 Portanto, os autovalores da matriz A são λ1 = 0 e λ2 = 4. Para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema homogêneo (A - λI)x = 0 para cada autovalor encontrado. Para λ1 = 0, temos: (A - λ1I)x = (A - 0I)x = Ax = 0 Substituindo os valores da matriz A, temos: [2 2; 2 2]x = 0 Que resulta no sistema: 2x1 + 2x2 = 0 2x1 + 2x2 = 0 Simplificando, temos: x1 + x2 = 0 Podemos escolher um valor para x2, por exemplo, x2 = 1, e obter x1 = -1. Portanto, um autovetor correspondente a λ1 = 0 é o vetor v1 = [-1; 1]. Para λ2 = 4, temos: (A - λ2I)x = (A - 4I)x = Ax - 4x = 0 Substituindo os valores da matriz A, temos: [-2 2; 2 -2]x = 0 Que resulta no sistema: -2x1 + 2x2 = 0 2x1 - 2x2 = 0 Simplificando, temos: x1 - x2 = 0 Podemos escolher um valor para x2, por exemplo, x2 = 1, e obter x1 = 1. Portanto, um autovetor correspondente a λ2 = 4 é o vetor v2 = [1; 1]. Assim, a alternativa correta é a letra D) Os autovalores da matriz A são λ1 = 0 e λ2 = 4.

Perfeito e conforme o AVA!!! A = 0 e A = 4