Dado um anel A, um elemento não nulo a ∈ A é um divisor de zero se existe b ∈ A não nulo tal que a · b = 0 (a) (1,5 pontos) Mostre que se a é um divisor de zero então não possui inverso em A. (b) (1,5 ponto) Determine todos os divisores de zero em Z15 Solução: (a) Seja a um divisor de zero. Então, existe um elemento não nulo b, tal que a · b = 0. Se a possuir inverso a−1. teremos que a−1 · a · b = a−1 · 0 =⇒ b = 0 contradizendo o fato de que b é não nulo. Dessa forma, conclúımos que a não possui inverso. (b) Sabemos que os elementos inverśıveis em Z15 são da forma a, onde mdc(a, 15) = 1. Logo, pelo item (a), os candidatos a divisores de zero em Z15 são: 3, 5, 6, 9, 10 e 12. Analisando cada caso • 3 · 5 = 0 • 5 · 6 = 0 • 5 · 9 = 0 2 • 3 · 10 = 0 • 5 · 12 = 0 Conclusão: Os divisores de zero em Z15 são: 3, 5, 6, 9, 10 e 12.