Marcar para revisão Sabe-se que lny - x2 - xy2 = 2, com y dependendo da variável x. Determine o valor de dydx���� para x = 0.

Para resolver essa questão, precisamos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro, derivamos a equação em relação a x: d/dx(lny - x^2 - xy^2) = d/dx(2) 1/y * dy/dx - 2x - y^2 - 2xy * dy/dx = 0 Agora, podemos isolar dy/dx: dy/dx = (2x - y^2) / (y(2xy - 1)) Substituindo x = 0, temos: dy/dx = (0 - y^2) / (y(0 - 1)) = y No entanto, ainda não sabemos o valor de y. Para encontrá-lo, podemos utilizar a equação original: lny - x^2 - xy^2 = 2 Substituindo x = 0 e isolando y, temos: lny - y^2 = 2 y^2 - lny - 2 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos duas soluções possíveis para y: y = -1.532 ou y = 2.532. No entanto, como y depende da variável x, precisamos verificar qual dessas soluções é válida para x = 0. Substituindo y = -1.532 na equação original, encontramos: ln(-1.532) - 0 - 0 = 2 Essa equação não é verdadeira, portanto, y = -1.532 não é uma solução válida. Substituindo y = 2.532, encontramos: ln(2.532) - 0 - 0 = 2 Essa equação é verdadeira, portanto, y = 2.532 é a solução válida para x = 0. Substituindo esse valor na equação que encontramos para dy/dx, temos: dy/dx = 2.532 Portanto, o valor de dy/dx para x = 0 é 2.532.