Considere a função f(x, y, z) = ln(x2 + y2 - z2). O valor dessa função no ponto (v/2, -v2, v/3)é igual a:

Para encontrar o valor da função \( f(x, y, z) = \ln(x^2 + y^2 - z^2) \) no ponto \( \left(\frac{v}{2}, -v^2, \frac{v}{3}\right) \), precisamos substituir \( x \), \( y \) e \( z \) pelos valores correspondentes. 1. Substituindo os valores: - \( x = \frac{v}{2} \) - \( y = -v^2 \) - \( z = \frac{v}{3} \) 2. Calculando \( x^2 + y^2 - z^2 \): \[ x^2 = \left(\frac{v}{2}\right)^2 = \frac{v^2}{4} \] \[ y^2 = (-v^2)^2 = v^4 \] \[ z^2 = \left(\frac{v}{3}\right)^2 = \frac{v^2}{9} \] 3. Agora, somamos e subtraímos: \[ x^2 + y^2 - z^2 = \frac{v^2}{4} + v^4 - \frac{v^2}{9} \] 4. Para somar as frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4 e 9 é 36: \[ \frac{v^2}{4} = \frac{9v^2}{36}, \quad v^4 = \frac{36v^4}{36}, \quad \frac{v^2}{9} = \frac{4v^2}{36} \] 5. Agora, substituindo: \[ x^2 + y^2 - z^2 = \frac{9v^2}{36} + \frac{36v^4}{36} - \frac{4v^2}{36} = \frac{(9v^2 - 4v^2 + 36v^4)}{36} = \frac{(5v^2 + 36v^4)}{36} \] 6. Portanto, a função se torna: \[ f\left(\frac{v}{2}, -v^2, \frac{v}{3}\right) = \ln\left(\frac{5v^2 + 36v^4}{36}\right) \] Assim, o valor da função no ponto \( \left(\frac{v}{2}, -v^2, \frac{v}{3}\right) \) é: \[ \ln\left(\frac{5v^2 + 36v^4}{36}\right) \]