Para resolver a soma \( A + A^2 + ... + A^n \), precisamos primeiro entender a matriz \( A \) dada. A matriz \( A \) é: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Agora, vamos calcular algumas potências de \( A \): 1. Cálculo de \( A^2 \): \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \] 2. Cálculo de \( A^3 \): \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \] Observando o padrão, podemos ver que a matriz \( A^n \) parece seguir a forma: \[ A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix} \] 3. Soma \( S_n = A + A^2 + ... + A^n \): Agora, somando as matrizes: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} A^k = \begin{pmatrix} n & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n \end{pmatrix} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \(\begin{pmatrix} 10 & n \\ 1 \end{pmatrix}\) - Não é correta. b) \(\begin{pmatrix} n & 0 \\ n & n \end{pmatrix}\) - Não é correta. c) \(\begin{pmatrix} n & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n \end{pmatrix}\) - Esta parece correta. d) \(\begin{pmatrix} n & 0 \\ \frac{n(n)}{2} & n \end{pmatrix}\) - Não é correta. e) \(\begin{pmatrix} n & 0 \\ n & n \end{pmatrix}\) - Não é correta. Portanto, a alternativa correta é a c) \(\begin{pmatrix} n & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n \end{pmatrix}\).