Para determinar o limite \(\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + 1})\), podemos simplificar a expressão. Podemos multiplicar e dividir por \(x\): \[ \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + 1}) = \lim_{x \to \infty} \left( x - \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} \right) \] Isso se torna: \[ = \lim_{x \to \infty} \left( x - x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right) \] Fatorando \(x\): \[ = \lim_{x \to \infty} x \left( 1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right) \] Agora, à medida que \(x\) tende ao infinito, \(\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1\). Portanto, podemos usar a expansão de Taylor para \(\sqrt{1 + u}\) em torno de \(u = 0\): \[ \sqrt{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{2} \quad \text{para } u \text{ pequeno.} \] Substituindo \(u = \frac{1}{x^2}\): \[ \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \approx 1 + \frac{1}{2x^2} \] Assim, temos: \[ 1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \approx 1 - \left(1 + \frac{1}{2x^2}\right) = -\frac{1}{2x^2} \] Portanto, substituindo de volta: \[ \lim_{x \to \infty} x \left( -\frac{1}{2x^2} \right) = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{2x} = 0 \] Assim, o limite é: \[ \lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + 1}) = 0 \] Portanto, a alternativa correta é: c) \(\lim_{x \to \infty} (x - \sqrt{x^2 + 1}) = 0\).