Questão 3. Verifique as identidades: (a) (x3 − a3) = (x− a)(x2 + ax+ a2); (b) (x4 − a4) = (x− a)(x3 + ax2 + a2x+ a3); (c) (x5 − a5) = (x− a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x+ a4); (d) (xn−an) = (x−a)(xn−1+axn−2+a2xn−3+ · · ·+an−2x+an−1), onde n ̸= 0 é um número natural.

Question

Questão 3. Verifique as identidades: (a) (x3 − a3) = (x− a)(x2 + ax+ a2); (b) (x4 − a4) = (x− a)(x3 + ax2 + a2x+ a3); (c) (x5 − a5) = (x− a)(x4 + a...

Ed · Answer

Para verificar as identidades apresentadas, vamos analisar cada uma delas:

(a) $ (x^3 - a^3) = (x - a)(x^2 + ax + a^2) $  
Essa identidade é verdadeira, pois é a fatoração da diferença de cubos.

(b) $ (x^4 - a^4) = (x - a)(x^3 + ax^2 + a^2x + a^3) $  
Essa identidade também é verdadeira, pois é a fatoração da diferença de quartas potências.

(c) $ (x^5 - a^5) = (x - a)(x^4 + ax^3 + a^2x^2 + a^3x + a^4) $  
Essa identidade é verdadeira, pois é a fatoração da diferença de quintas potências.

(d) $ (x^n - a^n) = (x - a)(x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \ldots + a^{n-2}x + a^{n-1}) $  
Essa identidade é verdadeira para $ n $ natural, pois é a forma geral da fatoração da diferença de potências.

Portanto, todas as identidades apresentadas são verdadeiras. Se você precisa de uma única resposta correta, todas as alternativas (a), (b), (c) e (d) estão corretas.

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar cada identidade proposta:

(a) (x³ - a³) = (x - a)(x² + ax + a²)
Para verificar essa identidade, podemos usar a fórmula de fatoração de uma diferença de cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Assim, temos: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²)
Portanto, a identidade (a) está correta.

(b) (x⁴ - a⁴) = (x - a)(x³ + ax² + a²x + a³)
Essa identidade também pode ser verificada utilizando a fórmula de fatoração de uma diferença de quartos: a⁴ - b⁴ = (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³).
Assim, temos: x⁴ - a⁴ = (x - a)(x³ + ax² + a²x + a³)
Portanto, a identidade (b) está correta.

(c) (x⁵ - a⁵) = (x - a)(x⁴ + ax³ + a²x² + a³x + a⁴)
Essa identidade segue o mesmo padrão das anteriores, utilizando a fórmula de fatoração de uma diferença de quintos.
Portanto, a identidade (c) está correta.

(d) (xⁿ - aⁿ) = (x - a)(xⁿ⁻¹ + axⁿ⁻² + a²xⁿ⁻³ + ... + an⁻²x + an⁻¹), onde n ≠ 0 é um número natural.
Essa identidade é uma generalização das anteriores para potências maiores. A fórmula de fatoração de uma diferença de potências pode ser aplicada de forma semelhante.
Portanto, a identidade (d) está correta.

Assim, todas as identidades propostas estão corretas.

Cálculo Numérico

Exercícios de Cálculo I

Respostas

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Exercícios de Cálculo I

Questão 8. Caso Existam, determine as raízes inteiras da equação: (a) x3 + 2x2 + x− 4 = 0; (b) 2x3 − x2 − 1 = 0; (c) x4 − 3x3 + x2 + 3x = 2; (d) x3 + x2 + x− 14 = 0.

Questão 13. Determine a equação de reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela a reta dada (a) y = 2x+ 3 e (1, 3); (b) x− y = 2 e (−1, 2); (c) 2x+ 3y = 1 e (0, 1).

Questão 14. Determine a equação de reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular a reta dada (a) y = −3x+ 1 e (−1, 1); (b) 3x− 2y = 0 e (0, 0); (c) 2x+ 3y = 1 e (1, 1).

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