Para determinar a transformação linear \( T(x, y) \) e a matriz \( [T] \), vamos seguir os passos: 1. Identificar a matriz da transformação: A matriz dada é \( [T]_{B_1B_2} = \begin{bmatrix} 3 & 12 \\ 5 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \). 2. Aplicar a transformação: Para encontrar \( T(x, y) \), precisamos expressar \( (x, y) \) na base \( B_1 \). A base \( B_1 = \{(-1, 1), (0, 1)\} \) nos dá os vetores que formam a base do \( \mathbb{R}^2 \). 3. Encontrar a representação de \( (x, y) \) na base \( B_1 \): Precisamos resolver o sistema: \[ c_1(-1, 1) + c_2(0, 1) = (x, y) \] Isso nos dá: \[ -c_1 = x \quad \text{e} \quad c_1 + c_2 = y \] Da primeira equação, temos \( c_1 = -x \). Substituindo na segunda: \[ -x + c_2 = y \implies c_2 = y + x \] 4. Aplicar a matriz da transformação: Agora, aplicamos a matriz \( [T]_{B_1B_2} \) aos coeficientes \( c_1 \) e \( c_2 \): \[ T(x, y) = [T]_{B_1B_2} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 12 \\ 5 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -x \\ y + x \end{bmatrix} \] 5. Calcular o resultado: \[ T(x, y) = \begin{bmatrix} 3(-x) + 12(y + x) \\ 5(-x) + 1(y + x) \\ -1(-x) + 0(y + x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3x + 12y + 12x \\ -5x + y + x \\ x \end{bmatrix} \] Simplificando: \[ T(x, y) = \begin{bmatrix} 9x + 12y \\ -4x + y \\ x \end{bmatrix} \] Portanto, a transformação linear \( T(x, y) \) é dada por: \[ T(x, y) = \begin{bmatrix} 9x + 12y \\ -4x + y \\ x \end{bmatrix} \] E a matriz \( [T] \) na base canônica é a mesma que \( [T]_{B_1B_2} \) que você já tem.