Para provar as afirmações dadas, é importante entender os conceitos de transformações lineares, dimensão do núcleo (ou kernel) e dimensão da imagem de uma transformação linear. a) Para provar que T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T)) = dim(W), podemos usar o Teorema da Dimensão. Se T é sobrejetora, então a imagem de T é todo o espaço W, ou seja, Im(T) = W. Portanto, a dimensão da imagem de T é igual à dimensão de W. E se dim(Im(T)) = dim(W), então T é sobrejetora. b) Para provar que T é injetora se, e somente se, dim(N(T)) = 0, podemos usar a definição de transformação injetora. Uma transformação é injetora se o núcleo (ou kernel) da transformação for igual a {0}, ou seja, se a única solução para T(v) = 0 é v = 0. Portanto, se dim(N(T)) = 0, significa que o núcleo de T é apenas o vetor nulo, o que implica que T é injetora. Portanto, as respostas corretas são: a) T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T)) = dim(W) b) T é injetora se, e somente se, dim(N(T)) = 0