(Mackenzie) Em [0, 2π], o número de soluções reais da equação raiz de3 sen x + cos x = 2 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Para resolver essa equação, podemos seguir os seguintes passos: 1. Elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz: (raiz de 3 sen(x) + cos(x))^2 = 2^2 3 sen(x) + 2 raiz de 3 sen(x) cos(x) + cos^2(x) = 4 2. Utilizar a identidade trigonométrica sen^2(x) + cos^2(x) = 1 para substituir cos^2(x) na equação: 3 sen(x) + 2 raiz de 3 sen(x) cos(x) + 1 - sen^2(x) = 4 3 sen(x) + 2 raiz de 3 sen(x) cos(x) + 1 - sen^2(x) = 4 3. Rearranjar a equação para obter uma expressão quadrática em relação a sen(x): sen^2(x) - 3 sen(x) + 1 = 0 4. Resolver a equação quadrática utilizando a fórmula de Bhaskara: sen(x) = [3 ± raiz de (3^2 - 4*1*1)] / 2 sen(x) = [3 ± raiz de 5] / 2 5. Agora, para encontrar o número de soluções reais no intervalo [0, 2π], devemos considerar quantas vezes sen(x) atinge os valores [3 + raiz de 5] / 2 e [3 - raiz de 5] / 2 nesse intervalo. Analisando as soluções de sen(x) no intervalo [0, 2π], percebemos que sen(x) atinge esses valores duas vezes, resultando em duas soluções reais para a equação dada. Portanto, a alternativa correta é: b) 2.