Para justificar a validade dos argumentos dados, é importante entender a lógica por trás das proposições. (a) (∃x)(∃y)p(x, y) ⇐⇒ (∃y)(∃x)p(x, y): Neste caso, a ordem de existência dos elementos não altera a validade da proposição. Portanto, a validade desta equivalência está correta. (b) (∀x)(∀y)p(x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x)p(x, y): Da mesma forma que no item anterior, a ordem dos quantificadores universais não afeta a validade da proposição. Assim, esta equivalência também é válida. (c) (∃x)(∀y)p(x, y)⇒ (∀y)(∃x)p(x, y): Neste caso, a existência de um elemento x que satisfaz a propriedade p para todos os y implica que para todos os y existe um x que satisfaz a propriedade p. Essa implicação é válida, pois se um elemento x satisfaz a propriedade para todos os y, então para cada y existe um x que satisfaz a propriedade. (d) (∀x)(∀y)(p(x, y)⇒ (∃x)(∃y)p(x, y): Neste caso, a implicação de que para todos os x e y, se p(x, y) então existe pelo menos um x e um y que satisfazem p, é válida. Isso ocorre porque se a propriedade p é verdadeira para todos os x e y, então existe pelo menos um par x, y que satisfaz p. Portanto, as justificativas para a validade dos argumentos são: (a) Correto (b) Correto (c) Correto (d) Correto