Grátis: Sendo A e B subconjuntos arbitrários de um conjunto X, indique as igualdades verdadeiras. (a) A ∪Ac = X (b) B ∩B = B (c) (A ∩B)c = Ac ∩Bc (d) (Ac)... – Questões Respondidas

Matemática Discreta

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Sendo A e B subconjuntos arbitrários de um conjunto X, indique as igualdades verdadeiras. (a) A ∪Ac = X (b) B ∩B = B (c) (A ∩B)c = Ac ∩Bc (d) (Ac)c = A (e) A−B = (B −A)c (f) (A−B) ∩ (B −A) = ∅ (g) Se A ∩B = ∅ então A = Bc (h) ∅ ∩ {∅} = ∅.

Progresso com Exercícios

ano passado

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folha3

UFG

Respostas

Ed

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Analisando as igualdades apresentadas: (a) A ∪ Ac = X - Esta igualdade está correta, pois a união de um conjunto com seu complemento resulta no conjunto universo X. (b) B ∩ B = B - Esta igualdade está correta, pois a interseção de um conjunto com ele mesmo resulta no próprio conjunto B. (c) (A ∩ B)c = Ac ∩ Bc - Esta igualdade está correta, pois a complementar da interseção de A e B é igual à união dos complementares de A e B. (d) (Ac)c = A - Esta igualdade está correta, pois o complementar do complementar de um conjunto é o próprio conjunto. (e) A - B = (B - A)c - Esta igualdade está correta, pois a diferença entre A e B é igual ao complementar da diferença entre B e A. (f) (A - B) ∩ (B - A) = ∅ - Esta igualdade está correta, pois a diferença simétrica entre A e B resulta em um conjunto vazio. (g) Se A ∩ B = ∅ então A = Bc - Esta igualdade está incorreta, pois se a interseção entre A e B é vazia, não implica que A seja igual ao complementar de B. (h) ∅ ∩ {∅} = ∅ - Esta igualdade está correta, pois a interseção do conjunto vazio com qualquer conjunto resulta no conjunto vazio. Portanto, as igualdades verdadeiras são: a) A ∪ Ac = X, b) B ∩ B = B, c) (A ∩ B)c = Ac ∩ Bc, d) (Ac)c = A, e) A - B = (B - A)c e f) (A - B) ∩ (B - A) = ∅.

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Justifique a validade dos seguintes argumentos (a) (∃x)(∃y)p(x, y) ⇐⇒ (∃y)(∃x)p(x, y) (b) (∀x)(∀y)p(x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x)p(x, y) (c) (∃x)(∀y)p(x, y)⇒ (∀y)(∃x)p(x, y) (d) (∀x)(∀y)(p(x, y)⇒ (∃x)(∃y)p(x, y)

Desafio1: (a) Com base na definição de Cauchy, prove que lim x→1 5−x x2 = 4. (b) Troque a posição dos quantificadores na definição de Cauchy e prove por contra-exemplo que é falso o valor lógico da proposição obtida. (c) Use a definição de limite para provar que não existe o limite lim x→0 |x| x.

Considere os conjuntos R = {1, 3, π, 4, 9, 10}, S = {{1}, 3, 9, 10}, T = {1, 3, π}, U = {{1, 3, π}, 1} Indique, de entre as seguintes proposições, as que são falsas. Justifique. (a) 1 ∈ S (b) T ⊆ R (c) S ⊂ R (d) T ⊆ U (e) {1} ⊂ S (f) T ∈ U

Sejam A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {x ∈ Z : 2 ≤ x < 5} subconjuntos de S={0,1,2,3,4,5,6,7}. Determine: (a) A ∪B e A ∩ C (b) A−B, S − C e A− S (c) (A ∩B)c (d) (B −A)c ∩ (A−B) (e) (C ∩B) ∪Ac (f) (Cc ∪B)c

Sejam A, B e C subconjuntos arbitrários de um conjunto X. Indique quais das seguintes afirmações são verdadeiras: (a) ∅ ⊆ A (b) ∅ ∈ {∅} (c) Se A ⊆ B e B ⊆ A então A = B (d) {{∅}} = {∅} (e) Se A 6⊆ B e B ⊆ C então A 6⊆ C (f) ∅ ∩ {∅} = ∅ (g)A−B = A ∩Bc (h) Se A ∩B = ∅ então A = Bc (i) (A−B) ∩ (B −A) = ∅

Para A, B e C conjuntos arbitrários, indique quais as afirmações verdadeiras. (a) Se A ⊆ B e B ⊆ A então A = B (b) ∅ ∈ {∅} (c) {∅} ⊆ A (d) {∅} = {{∅}} (e) Se A 6⊆ B e B ⊆ C então A 6⊆ C (f) Se A ∈ B e B 6⊆ C então A 6∈ C.

Para A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 4, 7}, C = {x ∈ Z— 2 ≤ x < 5} subconjuntos de S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, determine: (a) A ∪B (b) A ∩ C (c) A−B (d) S −A (e) A− S (f) (A ∩B)c (g) (B −A)c ∩ (A−B) (h) (C ∩B) ∪Ac (i) (Cc ∪B)c.

Sejam A,B,C subconjuntos de X. Prove que (a) A ∪B = X se e só se Ac ⊆ B (b) Se A ⊆ C e B ⊆ C então A ∩B ⊆ C (c) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∩ C (d) Se A ⊆ C e B ⊆ C também A ∪B ⊆ C (e) Se A ⊆ B e A ⊆ C então A ⊆ B ∪ C (f) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪B)− (A ∩B)

Prove ou refute que, sendo A,B e C subconjuntos arbitrários de X, se verificam as seguintes propriedades: (a) A− (B − C) = (A−B)− C (b) (A ∩B)− C = A ∩ (B − C) (c) (A ∪B)− C = A ∪ (B − C) (d)(A−B)c = Ac −Bc; (e) A ∪ (B −A) = A ∪B (f) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ C (g) A−B = A ∩Bc; (h) A ∪B = A ∪ (B ∩ C) se e só se B ⊆ C (i) (A−B)× C = (A× C)− (B × C) (j) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C) (l) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).