Para encontrar o polinômio linear que melhor aproxima a função \( f(x) = x^3 + 6 \) no intervalo \([0, 1]\) utilizando o método dos mínimos quadrados, precisamos calcular a média dos valores de \( f(x) \) e a média dos valores de \( x \) no intervalo. 1. Calcular os valores de \( f(x) \): - \( f(0) = 0^3 + 6 = 6 \) - \( f(1) = 1^3 + 6 = 7 \) 2. Calcular a média de \( x \): - A média de \( x \) no intervalo \([0, 1]\) é \( \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \). 3. Calcular a média de \( f(x) \): - A média de \( f(x) \) no intervalo é \( \frac{6 + 7}{2} = 6.5 \). 4. Encontrar a inclinação (coeficiente angular): - A inclinação \( m \) do polinômio linear pode ser calculada pela fórmula: \[ m = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(f(x_i) - \bar{f})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \] Para simplificar, podemos usar os pontos \( (0, 6) \) e \( (1, 7) \). 5. Calcular a inclinação: - \( m = \frac{(0 - 0.5)(6 - 6.5) + (1 - 0.5)(7 - 6.5)}{(0 - 0.5)^2 + (1 - 0.5)^2} \) - \( m = \frac{(-0.5)(-0.5) + (0.5)(0.5)}{0.25 + 0.25} = \frac{0.25 + 0.25}{0.5} = 1 \) 6. Encontrar o coeficiente linear (intercepto): - Usando a fórmula \( b = \bar{f} - m \bar{x} \): - \( b = 6.5 - 1 \cdot 0.5 = 6.0 \) Portanto, a equação do polinômio linear que melhor aproxima \( f(x) \) é \( y = 1x + 6 \). Agora, analisando as alternativas: A) \( y = 0,2x + 0,356 \) B) \( y = -0,1x - 0,0155 \) C) \( y = 0,9x + 5,8 \) D) \( y = -0,2x + 1,35 \) E) \( y = 0,14x + 0,98 \) Nenhuma das alternativas parece corresponder exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, se considerarmos a aproximação e a análise dos valores, a alternativa que mais se aproxima do comportamento da função no intervalo dado é a A) \( y = 0,2x + 0,356 \). Portanto, a resposta correta é a) \( y = 0,2x + 0,356 \).